空间几何体复习文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]空间几何体复习资料一、空间几何体的类型1、多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台2、旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。
其中，这条直线称为旋转体的轴。
常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球3、简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图中（1）（2）物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图中（3）（4）物体表示的几何体。
例1、下列各组几何体中是多面体的一组是（）A 三棱柱四棱台球圆锥B 三棱柱四棱台正方体圆台C 三棱柱四棱台正方体六棱锥D 圆锥圆台球半球例2、下图是由哪个平面图形旋转得到的（）A B C D二、几种空间几何体的结构特征1 、棱柱的结构特征（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的分类：棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体（3）性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等； （4）棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征 （1）棱锥的定义①棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
②正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
（2）正棱锥的结构特征棱长都底面是正方底面是侧棱垂直于底面是平行底面是四边图1-1 棱①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；②正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高） 注：正三棱锥是中底面是，三个侧面是全等的的。
正三棱锥不等同于，正四面体必须每个面都是全等的等边三角形。
正三棱锥的性质：1． 底面是等边三角形。
2． 侧面是三个全等的等腰三角形。
3． 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题。
对棱间的距离为a 22（正方体的边长）正四面体的高a 36（正方体体对角线l 32=）A BCD POH正四面体的体积为3122a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=）3 、棱台的结构特征（1）棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
（2）正棱台的结构特征：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；②正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； ③正棱台的对角面也是等腰梯形； ④各侧棱的延长线交于一点。
4 、圆柱的结构特征（1）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。
（2）圆柱的性质：①上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ②过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
（3）圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
S侧＝2πr∙lAB=2πrrrllA B（4）圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)S圆柱全= 2π r h + 2π r2V圆柱 = S底h = πr2h5、圆锥的结构特征（1）圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
（2）圆锥的结构特征：①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；②轴截面是等腰三角形；③母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2 = r2 + h2图1-5 圆（3）圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。
AL θ∙l(注：扇形的弧长等于圆心角乘以半径.提醒圆心角为弧度角，例如60°π3弧度，45°π4弧度，90°π2弧度等等)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形面积S扇形12弧长半径的长图中：扇形的半径长为l，圆心角为θ，弧ABθlll hr BV6、圆台的结构特征（1）圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台。
（2）圆台的结构特征：①圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；②圆台的截面是等腰梯形；③圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
（3）圆台的面积和体积公式O2O1hlrRS圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)S圆台全= π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·lV= 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h为圆台的高)圆台7、球的结构特征（1）球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体。
空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
（2）球的结构特征：①球心与截面圆心的连线垂直于截面；②截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2– d2（3）球与其他多面体的组合体的问题：球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：①根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；②找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；③将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；④注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
（4）球的面积和体积公式：= 4 π R2 (R为球半径)S球面V= 4/3 π R3球例1、下列说法正确的是（）A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形例2、下面多面体是五面体的是（）A 三棱锥B 三棱柱C 四棱柱D 五棱锥例3、下列说法错误的是（）A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 例4、下面多面体中有12条棱的是（ ）A 四棱柱B 四棱锥C 五棱锥D 五棱柱例5、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（ ）A 1 个B 2 个C 3个D 4个例6、一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为___________ cm.三、空间几何体的表面积和体积 1、空间几何体的表面积：棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+ 圆锥的表面积：2Srl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π=扇形的面积公式2211=36022n R S lr r πα==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径，α表示弧度）2、空间几何体的体积：柱体的体积 ：V S h =⨯底锥体的体积 ：13V S h =⨯底台体的体积 ： 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（球体的体积：343V R π=例1、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )Aππ221+ B ππ441+ C ππ21+ D ππ241+例2、已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为π6，则它的体积是( ) A π559 B 955 C π553 D 553例3、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（ ）A 2BC 5D 10例4、若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（ ）A 3：2B 2：1C 4：3D 5：3C DPA 1B 1C 1D 1例5、如图，在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点， 且PB 1＝41A 1B 1，则多面体P-BCC 1B 1的体积为（ ）A 38 B316C 4D 16 例6、两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）A 1：2：3B 1：7：19C 3：4：5D 1：9：27例7、如图，一个三棱锥，底面ABC 为正三角形，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝1，030=∠ASB ，M 、N 分别为棱SB 和SC 上的点，求AMN ∆的周长的最小值。
四、空间几何体的三视图和直观图 1、三视图：把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、直观图：斜二测画法 （1）斜二测画法的步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）MC A BSN②建立斜坐标系'''∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水xO y∠，使'''xO y平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；（2）用斜二测画法画出长方体的步骤：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图例1、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对俯视图例2、如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．例3、图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________。