基本模型
1、在正方形ABCD中，BN⊥AM，则常见的结论有哪些？
结论：
△ADM△△BAN
AM=BN
2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，若EF⊥GH，上述结论是否仍然成立？
当然是仍然成立的
过点H作HN⊥BC，过点F
作FM⊥AB
结论：
△HNG△△FME
GH=EF
所以大体上思路是“从垂直可利用全等推导出相等”
所以反思“从相等是否可推导出垂直？”
在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、BC 、AD 边上的点，若EF=GH ，则EF 与GH 不一定垂直，请画出反例.
如上图，垂直只是相等时的一种情况，另一种，只需使得AH’=DH ，BG’=CG’即可作出HG=H’G’
利用上述结论，做题可就方便多了！
例题1、如图，将边长为4的正方形纸片ABCD 折叠，使得点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 在AD 边，求折痕FG 的长；
【解析】
连接AE ，由轴对称的性质可知，AE ⊥FG （应该是FG 垂直平分AE ）
这样就可以直接用上面的结论啦！
所以由垂直得到相等，所以FG=AE=522422=+
既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？
模型拓展一
如图，在矩形ABCD 中，AB=m ，AD=n ，在AD 上有一点E ，若CE ⊥BD ，则CE 和BD 之间有什么数量关系？
其实这里面基本型较多
有相似里的直角母子型，又有A 字形相似
但是为了延续上面的探究
我们要讲的模型是△CDE ∽△BCD
证明较简单
不证了
记住这个结论 所以n
m BC CD BD CE == 即CE 和BD 之比等于矩形邻边之比
如图1，一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、AB 、CD 边上的点，当EF ⊥GH 时，有AD
AB GH EF =的结论，证明方法如图2，证明△FME ∽GNH 即可
图1 图2
看到上面加粗的字了吗？这个点的所在边为什么要确定？ 因为言五君发现，仅仅使得EF ⊥GH ，会出现下图情况，此时仍有相似，但AD AB GH EF =不再成立
所以我们可以思考一下，当这个α角度在什么范围内，
AD
AB GH EF =这个结论才能成立呢？由于α的特殊性，不如求tan ∠EFB 的最小值.
例题1、如图，已知直线2x 2
1-y +=与x 轴、y 轴分别交于B 、A 两点，将△AOB 沿着AB 翻折，使点O 落在点D 上，当反比例函数x
k y =经过点D 时，求k 的值.
【解析】
求出点D 的坐标就好啦！
这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！
所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）
发现连接OD 后，有OD ⊥AB （发现没有，矩形内部垂直模型出来了！） 所以有AB
OD OB OE AO ED ==，OD 和AB 均可求出来 易求A （0，2），B （4，0）
所以AB=52，OD=2OG
在△ABO 中，利用面积法可快速求出OG=5
54，所以OD=558 所以5
45255
84OE 2ED === 所以ED=58，OE=516，所以D （58，5
16） 所以k=58×516=25
128
【练习】
如图把边长为AB＝6，BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.
请在20秒内快速求出此题答案
15
答案：
2
模型拓展二
我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形
所以矩形的结论可沿用至直角三角形内
例题1、在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；
【解析】
如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G
所以有结论△BCD ∽△CAG ，所以
CG
AB AC CB AG CD == 所以CG 543AG 2==，AG=38，CG=320
如图，再用一次X 型相似即可
所以设CE=x ，EG=3
20-x 所以CE EG BC AG =，即x
x -320338=，解得1760x =
【练习】
1、如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，BA=BC ，点D 为BC 边上的中点，BE△AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ，则AF FC
的值为___________.AF ：FC
答案：2
【其它四边形中的十字】
1、（2017届滨湖区期中）如图，把边长为AB ＝2
2、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.
【解析】
看着不熟悉吗？
怎么转换为熟悉的模型呢？
看下面，补成矩形不就好了！
后面的过程基本就和前面讲过的一样咯
BF
DF BD MN ，BD=102，DF=2，BF=6，所以MN=3102
2、（2013·武汉中考改编）如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ∠CF ，请求出CF
DE 的值．
【解析】
咋一看，又是个不规则的图形
再仔细看一下条件，发现其实是个轴对称的图形
再利用一下条件，可算出BD=10，发现△BCD也是个直角三角形要求DE与CF的比值，仍然往我们熟悉的模型上靠拢
将这个图形补成矩形
所以，由前面得到的结论，可知AM
AD CF DE = 眼尖的言五君发现了熟悉的一线三等角模型
所以△BMC ∽△CND ，且相似比4
3CD BC =， 设BM=x ，所以CN=x 3
4
，MC=x 34-8 所以4
3ND MC =，即43x 6x 34-8=+ 解得x=2542，所以AM=6+2542=25
192 所以24
2525
1928AM AD CF DE ===
【练习题】
1、如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边的中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，
（1）求AF 的长；
（2）求△EBG 的周长；
（3）求FD
CH 的值.
3、如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF△AC ，垂足为E ，
12AD AB ，△CEF 的面积为1S ，△AEB 的面积为2S ，则12
S S 的值等于 ．
4、如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，分析下列四个结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF ＝2A F ；③DF ＝DC ；④tan ∠CAD
＝
2
．其中正确的结论有( )
A.4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
2、新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC 中，AF 、BE 是中线，且AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC 的长为___________.
3（1）如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，点D 为BC 边上的点，BE△AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ．AB B C 1D B DC ==，求AF FC
的值； （3）在Rt△ABC 中，△ABC=90°，点D 为直线BC 上的动点(点D 不与B 、C 重合)，直线BE△AD 于点E ，交直线AC 于点F 。

若
AB BD n BC DC ==，请探究并直接写出AF FC
的所有可能的值(用含n 的式子表示)，不必证明．
【其它四边形中的十字】
1、如图，把边长为AB ＝2
2、BC ＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD 对折，使点B 和D 重合，求折痕MN 的长.
2、已知四边形ABCD 中．E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．
（一）问题初探；
如图①，若四边形ABCD 是正方形，且DE ∠CF ．则DE 与CF 的数量关系是 ；
（二）类比延伸
（1）如图②若四边形ABCD 是矩形．AB=m ，AD=n ．且DE ∠CF ，则CF
DE = ．（用含m ，n 的代数式表示）
（2）如图③，若四边形ABCD 是平行四边形，当∠B+∠EGC=180°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
（三）拓展探究
如图④，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE ∠CF ，请直接写出CF
DE 的值．
（2016·烟台）
【探究证明】
（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形 两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．
如图1，矩形ABCD 中，EF△GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ， GH 分别交AD ，BC 于点G ，H ．求证：AB
AD GH EF =； 【结论应用】
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM△BN ，点M ，N 分别 在边BC ，CD 上，若1511GH EF =，则AM
BN 的值为 ； 【联系拓展】
（3）如图3，四边形ABCD 中，△ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5， AM△DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求AM
DN 的值．。