极值点偏移问题（2）——函数的选取（操作细节）杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)例4 已知函数()x f x e ax =-有两个不同的零点12,x x ，其极值点为0x ．（1）求a 的取值范围；（2）求证：1202x x x +<；（3）求证：122x x +>；（4）求证：121x x <．解：（1）()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上单增，()f x 至多有1个零点，舍去；故必有0a >，易得()f x 在(),ln a -∞上单减，在()ln ,a +∞上单增，要使()f x 有两个不同的零点，则有()ln 0f a a e <⇒>（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）．（2）由所证结论知这是()f x 的极值点偏移问题，选取函数()f x 来做．下面按对称化构造的三个步骤来写，其中0ln x a =．①由（1）知()f x 在()0,x -∞上单减，在()0,x +∞上单增，可设102x x x <<； ②构造函数()()()02F x f x f x x =--，则()()()02022x x x F x f x f x x e e a -'''=+-=+-，当0x x <时，有()20F x a '>-=，则()F x 在()0,x -∞上单增，得()()00F x F x <=，即()()()002f x f x x x x <-<；③将1x 代入②中不等式得()()()12012f x f x f x x =<-，又20x x >，0102x x x ->，()f x 在()0,x +∞上单增，故2012x x x <-，1202x x x +<．（3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题．谁的极值点会是1x =呢？回到题设条件：()0x xxe f x e ax e ax a x =-=⇒=⇒=，记函数()xe g x x=，则有()()12g x g x a ==．求导得()()21x e x g x x -'=，则1x =是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>，也可证（4）中结论121x x <．①()g x 在(),0-∞上单减，在()0,1上单减，在()1,+∞上单增；()g x 的符号与x 的符号相同；当x →-∞时，()0g x →；当0x -→时，()g x →-∞；当0x +→时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞．()g x 的图象如下（由图象亦可得a e >），由()()12g x g x a ==可设1201x x <<<；②构造函数()()()2G x g x g x =--，则()()()()()()()()222222112122x x x x e x e x e e G x g x g x x x x x x --⎛⎫--'''=+-=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭， 当01x <<时，10x -<，但因式()2222x xe e x x ---的符号不容易看出，引进辅助函数()2xe x xϕ=，则()()32x e x x x ϕ-'=，得()x ϕ在()0,2上单减，当()0,1x ∈时，()21,2x -∈，即022x x <<-<，则()()2x x ϕϕ>-，即()22202x xe e x x -->-，()0G x '<，得()G x 在()0,1上单减，有()()10G x G >=，即()()()201g x g x x >-<<；③将1x 代入②中不等式得()()()1212g x g x g x =>-，又21x >，121x ->，()g x 在()1,+∞上单增，故212x x >-，122x x +>．（4）①同上；②构造函数()()1G x g x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则 ()()()()112222211111111x x xxx e xe e e x x G x g x g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭'''=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，当01x <<时，10x -<，但因式1xxe x e -的符号不容易看出，引进辅助函数()1xx x e x e ϕ=-，则()111xxx e e x ϕ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，得()x ϕ在()0,1上单增，有()()10x ϕϕ<=，则()0G x '>，得()G x 在()0,1上单增，有()()10G x G <=，即()()101g x g x x ⎛⎫<<<⎪⎝⎭； ③将1x 代入②中不等式得()()1211g x g x g x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()g x 在()1,+∞上单增，故211x x<，121x x <．点评：结论虽已证出，但判定因式()2222x x e e x x ---及1xx e xe -的正负时，均需辅助函数的介入，费了一番功夫．虽然()g x 的极值点是1，理论上可以用来做（3）（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．再次回到题设条件：()()0,0ln ln ln ln x f x e ax a e x x a x x x a =⇒=>>⇒=+⇒-=，记函数()ln h x x x =-，则有()()12ln h x h x a ==．接下来我们选取函数()h x 再证（3）（4）两问．（3）①()11h x x'=-，得()h x 在()0,1上单减，在()1,+∞上单增，有极小值()11h =；又当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞．故()h x 的图象如下（由图象得ln 1a >，亦得a e >），由()()12ln h x h x a ==可设1201x x <<<．x②构造函数(2H x h x h x =--，则()()()()1111211122H x h x h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+-=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当01x <<时，10x -<，1102x x->-，则()0H x '<，得()H x 在()0,1上单减，有()()10H x H >=，即()()()201h x h x x >-<<；③将1x 代入②中不等式得()()()1212h x h x h x =>-，又21x >，121x ->，()h x 在()1,+∞上单调递增，故212x x >-，122x x +>．（4）①同上；②构造函数()()1H x h x h x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则 ()()()22211111111H x h x h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当01x <<时，()0H x '>，得()H x 在()0,1上单增，有()()10H x H <=，即()()101h x h x x ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭；③将1x 代入②中不等式得()()1211h x h x h x ⎛⎫=<⎪⎝⎭，又21x >，111x >，()h x 在()1,+∞上单调递增，故211x x <，121x x <． 点评：用函数ln y x x =-来做（3）（4）两问，过程如行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将11ln ln x x a =+，22ln ln x x a =+相加得()12120ln 2ln 2ln 2x x x x a a x +=+<=；注2：在第②步中，我们为什么总是给定1x 的范围？这是因为1x 的范围()0,1较2x 的范围()1,+∞小．以第（3）问为例，若给定()1,x ∈+∞，因为所构造的函数为()()()2H x h x h x =--，这里0x >，且20x ->，得02x <<，则当2x ≥时，()H x 无意义，需要分为两类：（1）若22x ≥，则1222x x x +>≥，结论成立；（2）当()1,2x ∈时，同原解答．而给定()0,1x ∈，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定1x 或2x 的范围均可，请读者自己体会其中差别．思考：上一讲中练习1应该用哪一个函数来做呢？提示：ln 1ln 00,x x ax a x e ⎛⎫-=⇒=∈ ⎪⎝⎭，用函数ln x y x=来做212x x e >；或用函数ln y x ax =-来做2122x x e a+>>． 练习2 已知函数()()ln f x x m mx =+-． （1）求()f x 的单调区间；（2）设1m >，12,x x 为函数()f x 的两个零点，求证：120x x +<． 提示：（2）()()ln mxf x x m mx ex m =+-⇔-=，用函数()mx g x e x =-来做122ln 0mx x m+<-<．。