20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：一、填空题（每题4分，共20XX 分）1. 设ABCL 是从(1,0)A 到(0,1)B -再到(1,0)C -连成的折线，则曲线积分d d ||||ABC Lx yx y +=+⎰ .2. 设向量场222(1)(1)(1)A x x z i y x z j z x z k =++-+-，则向量场在点0121M -（，，）处的旋度A =rot .3. 若x y xe -=和sin y x =为某四阶常系数齐次线性微分方程的两个解，则该方程是.4. 函数(),(),(,)x x f x y ϕψ皆可微，设()(),()z f x y xy ϕψ=+，则z zx y∂∂-=∂∂ . 5. 锥面22z x y +被圆柱面222,(0)x y ax a +=>截下的曲面的面积为 .二、单项选择题（每题4分，共20XXXX 分）本题分数 20XX得 分本题分数 20XXXX 得 分（多选不得分）6．若()()0000,,,x y x y ff xy∂∂∂∂都存在，则(,)f x y 在()00,x y （ ）（A ）极限存在但不一定连续 （B ）极限存在且连续（C ）沿任意方向的方向导数存在 （D ）极限不一定存在，也不一定连续7. 12,L L 是含原点的两条同向封闭曲线，若已知122d d L y x x yK x y -+=+⎰(常数)，则222d d L y x x yI x y -+=+⎰的值（ ）（A ）一定等于 K （B ）一定等于K -（C ） 与2L 的形状有关 （D ）因为Q Px y∂∂=∂∂，所以0I =8．∑为球面2222x y z a ++=外侧，Ω为球体2222x y z a ++≤，则有 （ ）（A ）222254()3d d x y z v a v a πΩΩ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（B ）2d x S ∑⎰⎰=22224114()33d d 3x y z S a S a π∑∑++==⎰⎰⎰⎰ （C ）由于∑关于yOz 平面对称，所以d d 0x y z ∑Λ=⎰⎰ （D ）20d d x y z ∑Λ=⎰⎰.三、解答题（第20XXXX 题8分，其余每题20XXXX 分，共68分）9. 求曲面积分d d d d x y z xz z x ∑Λ+Λ⎰⎰，其中222: 1 (0)x y z z ∑++=≥，取上侧.20XXXX. 已知()F x 在[]0,1上具有连续的二阶导数，()()()01, '11F F F ==，计算()22d d DI xyF x y x y ''=+⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥.本题分数 68得 分20XXXX. 设函数()f t 具有二阶连续导数，函数22()u f x y =+满足2222221u u u u x y x y x x∂∂∂+-+=+∂∂∂，求函数u 的表达式.12．计算()2d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面()2212z x y =+介于平面0z =及2z =之间的部分的下侧.13. 求线性微分方程组1221233123ddd442dd2dxxtxx x xtxx x xt⎧=⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=--⎪⎩满足123(0)(0)(0)1x x x===的特解．14. 设函数(,)x y θ在xoy 面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2d (,)d Lxy x x y yθ+⎰与路径无关，且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2d (,)d 2d (,)d ,t t xy x x y y xy x x y y θθ+=+⎰⎰求(,)x y θ.20XXXX. 设S 为椭球面的上半部分，点(),,P x y z S ∈,π为S 在点P 处的切平面，ρ为原点到平面π的距离，求()d ,,SzS x y z ρ⎰⎰.一、 填空题1.2-； 2．234（，，）； 3．(4)2220y y y y y ''''''++++=； 4．()'2()(),()'()y x f x y xy xy ϕψψ-+⋅； 5．3π二、 选择题6. (D) 7．(A) 8．（D ） 三、9 解：设220:0 (1)z x y ∑=+≤，取下侧，则d d d d d d d d d d d d x y z xz z x x y z xz z x x y z xz z x ∑∑+∑∑+=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……… (3分)设222: 1 (0)x y z z Ω++≤≥，可得02d d d d 1d d d ()3x y z xz z x x y z V π∑+∑Ω+=⋅=Ω=⎰⎰⎰⎰⎰.…………… (6分)同时，0d d d d 0x y z xz z x ∑+=⎰⎰，…………………………………………………… (8分)所以原式23π=.…………………………………………………………………… (20XXXX 分)20XXXX. 解：利用极坐标变换()()()111223''2322201d cos sin "d cos sin d d "d 2I r F r r r r F r r r F r r ππθθθθθθ===⎰⎰⎰⎰⎰，………… (5分)令2t r =，则()()()()()()()11100011111"d d ''1'd '11044444I tF t t t F t F F t t F F F ⎡⎤===-=⎡-+⎤=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.…………(20XXXX 分)20XXXX. 解：设22t x y +，原方程化为2''()()u t u t t += (4)解之得212cos sin 2u C t C t t =++-……………………………… (9分) 故222222122u C x y C x y x y =+++-…………………………… (20XXXX分)20XXXX 解：在曲面∑上，有22cos 1x y α=++，22cos 1x y γ++，因此 ……(2分)()()(2222222d d d d cos cos d d 11z x y z z x y z x z S z xSx y x y αγ∑∑∑⎡⎤⎡⎤⎢+-=+-=+⎣⎦⎢++++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰……(5分)()()()2222211d d .42xy D x y x x x y x y ⎧⎫⎡⎤=-++⋅--+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰⎰ ……(7分)()222222220011d d d cos d 822xy D x x y x y r r r r πθθπ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ……(20XXXX分)20XXXX. 解 解得特征根为210321===λλλ，， ……………… (2分)对应的特征向量是,021,122,201321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=r r r ……………… (5分)所以通解为：()X t =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛022202122t ttt t e e e e e ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321c c c ． ………………… (7分) 代入初值条件得1231/201/2c c c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，特解为：21223()1/2/2()()1t t x t e x t e x t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩．……… (20XXXX分)20XXXX.因为积分与路径无关，所以2,x xθ∂=∂即2(,)()x y x c y θ=+. …………………………(3分)又 (,1)1122(0,0)002d (,)d [()]d ()d t xy x x y y t c y y t c y y θ+=+=+⎰⎰⎰(1,)(0,0)2d (,)d [1()]d ()d t t txy x x y y c y y t c y y θ+=+=+⎰⎰⎰则 1200()d ()d tt c y y t c y y +=+⎰⎰， …………………………(7分)两边同时求导可得21()()21t c t c y y =+⇒=-.因此 2(,)21x y x y θ=+- .…………………………(20XXXX 分)20XXXX.解: 设(),,x y z 为π上任意一点，则π的方程122xXyYzZ ++=， 于是()12222222,,44Ax By Cz D x y x y z z A B C ρ-+++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭.……………………………………………(3分)由曲面方程知22122x y z ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭222122zxx y ∂∂⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，222122z y x y ∂=∂⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2222224d 1d 2122x y z z S x y x y σσ--⎛⎫∂∂⎛⎫=++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎝⎭，………………………………………(5分)故()())2222222200113d d 4d d 4d ,,44442SSD z x y S z S x y r r r x y z πσθπρ=++=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰………(8分)。