根据Packard等于1980年提出的由一维可观察量重构 相空间理论56，利用Logistic映射按2DLMGS的定 义迭代15万次后所得吸引子横坐标的时间序列，作为 观测系统行为的数据。作者计算了2DLMGS吸引子 的Lyapunov指数和分维数。 由Wolf等人建立的从时间序列计算最大Lyapunov指 数1的方法51，选取数据总量N为50000，嵌入空间 维数m通过从2开始逐渐增加反复试算来确定，时间延 迟 和长度元演化步长Step也像m一样经过取不同数值 反复试算来确定，最大长度尺度Scalmx取0.02，最小 长度尺度Scalmn取1E6。作者求出图3.2中2DLMGS 吸引子的1如表3.1所示。


由Grassberger和Procaccia所提出关联维数D2的计算方 法50，选取10000个数据点，作者作出图3.2中 2DLMGS吸引子的～关系曲线如图3.4所示，D2的计 算结果见表3.2。 表3.1和表3.2给出2DLMGS吸引子具有奇怪吸引 子的运动特征。从图3.2可观察到2DLMGS吸引子从 整体上说是稳定的，即吸引子外的一切运动最后都要 收缩到吸引子上；2DLMGS吸引子并不填满某一有 限区域，而往往具有一些空隙或空洞，除了这些大的 空洞外，还有不同层次的小的空隙或空洞的存在，这 就使吸引子具有无穷层次的自相似结构，即分形结构。

第一个普适常数 是指在分岔值序列n 序列收 敛过程中，间隔比的极限 他又指出在 x 轴上周期解的周期之间的距离按 因子 =2.5029078751… 缩减；此数 也是普适 的，称为第二个普适常数。这两个常数是一切 周期倍分岔所共有的，它们反映了周期倍分岔 通向混沌道路的规律性。

由上述分析，我们可给出倍周期分岔和混 沌所具有重要的普适性：

为了阐明初始点的影响，探讨图形与吸引子之 间的联系，当操作符取除法运算时，随迭代次 数的增加，作者研究了2DLMGS图形的变化。 图3.3给出了当 从0增加到1.0时，Logistic映 射在第n次迭代后所生成的图形（n被写在每幅 图形的左下角）。在这个过程中，总迭代次数 N=1000，因此。根据算法可知，当 增加时， 前一次最后迭代的终点可被看作是下一次迭代 的初始点。由图3.3可见，随迭代次数的增加， 图形逐渐生长，最后图形的边缘与其对应的吸 引子相似[图3.2j]。
3.3 三维奇怪吸引子透视图的 计算机模拟

3.3.1 方法
3.3.2 结果 3.3.3 小结


3.3.1 方法

选取三维非线性映射

的初始点为(0,0,0)，然后迭代500万次，使落 在观察区域（即透过计算机屏幕可以看到的三 维相空间中的区域）内的式(3.4)所表示的动力 系统的运动轨迹进行平移与旋转，可由下面坐 标变换公式

来表示。其中xt，yt和zt是还没有转换为显示 坐标的三维坐标，参数mx、my和mz代表观察 者的位置，q和j分别为旋转角和倾斜角。系统 的运动轨迹从三维空间中面向二维屏幕(x轴所 指方向)进行投影。


为了展现出三维奇怪吸引子的内部结构，可采用画透 视图的方法。具体方法如下：利用式(3.4)的每一次迭 代所产生新的三维坐标x，y和z，先将y和z的值分别除 以x，再乘以观察者到屏幕的距离ds，然后加上屏幕中 心的坐标值，把这一对值转换为整常数xp和yp后，这2 个值就是应该在二维屏幕上画出像素点的行和列；再 根据三维奇怪吸引子在相空间中轨迹的复杂程度赋予 其投影点——各个像素点以不同的颜色。 三维奇怪吸引子在相空间中的轨迹是不相交的，但 它在二维平面上的投影却可以相交。为此在画透视图 时，图中的某一像素点的颜色是与方程(3.4)在相空间 中的轨迹投影到该像素点的次数求和

定义3.1[44] LMGS定义如下：

上式中，是k维空间中的一个点集；为操作符， 其为加、减、乘、除四种基本的运算形式之一。 例如，令，为加法运算，则、，当以某一步 长，如0.01，从0增加到1.0时，对于每一个 值，取，使式3.2迭代1000次，画出颜色随 的变化而变化的点，重复这个过程，直到增 加到1.0，过程结束，这样就产生了一幅图， 我们称这幅图为Logistic图形；若在绘图过程中， 如果Logistic映射迭代所产生的最初500个点被 抛弃掉，则我们称这幅图为Logistic吸引子。
其分岔过程如图3.1（示意图，未按比例） [9]。

下面我们讨论一下随参数的变化xn在n
时的行为。




在0 0.25时， = 0为稳定点。 若 1 0.75， = 1 为稳定点。 若1 2 0.85056……，出现周期2解。 若2 3 0.88602……，出现周期4解。 若 继续增加，依次出现的稳定周期解是周 期8解，周期16解，周期32解，……。 上述分岔值序列1，2，3，……，有一个解 的极限0.89248……。

图3.2m与3.2n中的点坐标为

图3.2o与3.2p中的点坐标为

(a)
(b)

(c)
பைடு நூலகம்

从图3.2可见，当操作符取得具有相关性 时，所得的吸引子和图形也很相似，如 图3.2c与3.2d中的点坐标为

图3.2k与3.2l中的点坐标为

图3.2c与图3.2k相似，图3.2d与图3.2l相 似。
3.3.2 结果

上述非线性映射的动力学行为是由控制参数a、b、c、 d和e决定的。为了在控制参数空间对系统的行为进行 较全面的考察。我们研究了随控制参数的变化系统行 为的演化。

在三维相空间中，如果系统的解为不相关的随机信号则运动轨迹均匀地 充满相空间，而有规律的可预测的信息则产生清晰的周期性轨迹，某几 种相关的、随机的信号以及可预测的混沌信号则趋向于充满相空间的某 些特定部位，而混沌过程的无规则的信息则可以很好地在相空间图中鉴 别出来，因为它呈现有规律的奇怪吸引子。由此可见，图3.5为上述非线 性映射的奇怪吸引子。图3.5的初始点选取为(x0, y0, z0)=(0, 0, 0)，当 改变初始点时，我们发现图3.5几乎没什么明显变化，这表明奇怪吸引子 具有整体上的稳定性。同时我们也观察到奇怪吸引子不是连续分布的实 体，而是其中有大量空洞的结构，除了一些大的空洞外，还有不同层次 的小的空洞，这就使得奇怪吸引子具有无穷层次的自相似几何结构。图 3.5a与3.5b相比较，从不同的角度（旋转角q 和倾斜角j ）去观察，三维 奇怪吸引子的透视图变化很大，这进一步反映出奇怪吸引子的结构十分 复杂。上述研究表明奇怪吸引子的轨迹永远在绕圈，它本身从不相交并 因而永不重复。这种非常精细的结构在所有尺度上都存在，甚至在无穷 长时间极限下，吸引子也不会在三维空间内形成一个实体。
第三章 二维非线性映射中 的混沌与分形



3.1 一维Logistic映射中的混沌 3.2 LMGS吸引子混沌特征的定量观测 3.3 三维奇怪吸引子透视图的计算机模 拟 3.4 二维Logistic映射中的混沌与分形 3.5 一般二维二次映射中的奇怪吸引子 与分形

基于式 (2.3) ，可给出 Logistic 映射的另一 种形式 3.1

图3.2显示的是由Logistic映射所生成的 2DLMGS，其中图3.2a、3.2c、3.2e、 3.2g、3.2i、3.2k、3.2m、3.2o为图形； 图3.2b、3.2d、3.2f、3.2h、3.2j、3.2l、 3.2n、3.2p为吸引子。图3.2a与3.2b中的 点坐标为

图3.2c与3.2d、图3.2e与3.2f、图3.2g与 3.2h、图3.2i与3.2j分别是当操作符取为 加、减、乘、除运算时所获得的图形和 吸引子；图3.2k与3.2l中的点坐标为


当 达到该值时，系统的稳态解是一个 “周期2k解”，可见系统当参数增加时， 系统经过不断周期倍化（Period doubling）； 当 超过 值后，系统就会进入混沌区。 即当 在 范围内，系统的解序列被 “吸引”到周期解（包括平衡态作为特 例）上去。



除了稳定的平衡态和稳定的周期解这两种通常的吸引 子外，这个系统当 在 1这个范围时，解序列的稳 态或极限将出现奇怪吸引子，相应的物理现象中有混 沌过程。 这表明：在Logistic映射通向混沌道路的一系列分岔过 程中，在参数空间和相空间中都表现出自相似性和尺 度变换下的不变性。这种演化过程在非线性系统中带 有通有的（Generic）性质。 因此，M. J. Feigenbaum曾用重整化群方法，经过细致 的观察和研究，发现系统经过倍周期分岔进入混沌时， 其数量关系会呈现某种规律性，这就是 Feigenbaum 常 数 和[10]。
3.2 LMGS吸引子混沌特征的 定量观测

3.2.1 LMGS吸引子的构造方法
3.2.2 LMGS吸引子的模拟结果 3.2.3 结论


3.2.1 LMGS吸引子的构造方法

式3.1给出的Logistic映射仅有一个自由度， 利用它只能产生一条曲线。为了绘制一幅图形， 至少需要两个或两个以上的自由度。如何利用 Logistic映射生成美丽的图形，为此孙海坚等人 给出了LMGS定义，其基本思想是：以为初值， 利用Logistic映射经迭代所产生的一维序列， 如，，，通过用不同的算术运算来组合，构造 出多个变量，，的表达式，并以，，作为新的 自由度，从而将一维Logistic映射扩展到二维、 三维或k维空间。

LMGS在二维空间中的子集可用 2DLMGS来表示。2DLMGS的定义如 下：

上述定义中操作符仅取加、减、乘、除 四种基本的运算，我们认为还可取其它 运算形式，如乘方、开方等，这样就扩 展孙海坚了等人关于LMGS的定义，并可 利用扩展的LMGS的定义构造出更多的美 丽的图形。
3.2.2 LMGS吸引子的模拟结果