（相关组增加向量仍相关；无关组减少向量仍无关.）
【结论 4】若向量组1 , 2 , 线性相关， 则 能由1 , 2 ,
, m 线性无关，而1 , 2 ,
,m ,
, m 线性表示，且表示式唯一。
【结论 5】线性无关的向量组中每个向量分别添加分量后的 新向量组一定线性无关。 （无关组增加分量仍无关）
【注 3】矩阵 A经初等行变换变成矩阵 B ，则 A的行向量组与 B 的 行向量组等价。但是列向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 P ，使得 PA B, A P 1 B 。
【注 4】矩阵 A经初等列变换变成矩阵 B ，则 A的列向量组与 B 的 列向量组等价。但是行向量组未必等价。
证明思路：存在可逆矩阵 Q ，使得 AQ B, A BQ 1 。
k 0, 0 一定是 k 0
3、 向量组：若干个同维数的行（列）向量所组成 的集合称为向量组。
1 2 3 2 3 4 1 , 2 , 3 是3个四维的列向量组. 3 4 5 4 5 6
k12 k22 ks 2 k1 s k2 s k ss 0
k1 s k2 s ， k ss
【例3】讨论向量组的线性相关性。
a1n xn b1 a2 n xn b2 amn xn bm
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a x am 2 x2 等价于线性方程组 m1 1
有解
三. 向量组的等价
设Hale Waihona Puke 两个向量组 A : 1 , 2 ,
m 和 B : 1 , 2 , l ，
若 B 组中的每个向量都能由 A组中的向量线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A线性表示。
若向量组 A和向量组 B 能相互线性表示， 则称这两个向量组等价。
【注１】向量组 B 能向量组 A 表示的矩阵表示
列向量组 B : 1 , 2 ,
, l 能由 A : 1 , 2 ,
, m 线性表示，则
1 k111 k21 2 k k 2 12 1 22 2 l k1l1 k2 l 2 即存在 m l 矩阵 K ，使得 k11 k , m ) 21 km 1 k12 k22 km 2
无关
【注】 线性相关（无关）的直观意义:
① 线性相关 0 ； 线性无关 0 .
② 1 , 2 线性相关 1 , 2 成比例(或平行)；
1 , 2 线性无关 1 , 2 不成比例(或不平行)。
1 2 2 a 2 1 2 , 1 , 若 A 与 线性相关， 例 2 设A 3 0 4 1 则a . 答案： 1
, m 和向量 ，若存在实数
, km ，使得 k11 k2 2 km m ， 则称向量 能由向量组 A线性表示。
【注】零向量可写成任意同维数向量的线性组合.
k1 , k2 ,
向量 能由向量组 A : 1 , 2 ,
, n 线性表示，其中 a11 a12 a1n b1 a a a b 1 21 , 2 22 , , n 2 n , 2 a a a b m1 m2 mn m 等价于存在 x1 , x2 , , xn ，使得 x11 x2 2 xn n
一.向量
a1 a 2 , a n
T (a1 , a2 ,
, am ).
2、向量的线性运算
（1）加减法； （2）数乘
（参考矩阵的加减法和矩阵的数乘）
【注】 k 0 k 0 或 0 ， 即 k 0, k 0 一定是 0 ；
注意：矩阵等价与向量组等价的有区别.
(1)向量组等价不能确定向量组构成的矩阵等价 反例：虽然向量组 B : 1 1, 0, 0 , 2 0, 2, 0 ,
T T
3 1, 1, 0 与 A : 1 1, 0, 0 , 2 0, 1, 0 等价。
2 3 4 5
3 4 5 6
反过来看：
即矩阵的
特殊分块
二、向量组的线性表示（以列向量为对象）
1、 【定义 2】设向量组 A : 1 , 2 , 称 k11 k2 2
, m 及任意一组实数 k1 , k2 ,
, km ，
线性表示
设向量组 A : 1 , 2 ,
km m 为向量组 A的一个线性组合。
【结论 9】设 n维向量组1 , 2 ,
, s 线性无关，且
k11 k ( 1 , 2 , , s ) (1 , 2 , , s ) 21 k s1 k11 k12 k21 k22 则 1 , 2 , , s 线性无关 k s1 ks 2
km 1 m , km 2 m , kml m , k1l k2 l B AK kml
( 1 , 2 ,
, l ) (1 , 2 ,
【注 2】若 AB C ，则
C 的列向量组可由 A的列向量组线性表示，( AB C ) C 的行向量组可由 B 的行向量组线性表示。( AB C )
1T (1, 2, 3), 2T (2, 3,4), 3T (3,4,5), 4T (4,5,6)
是4个三维的行向量组。
4．向量组和矩阵的关系
1 2 3 1 2 3 4 2 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 3 4 5 3 4 5 6 4
第三章
向量组
2014年10月
§3.1
向量组的线性表示
a1 a 1、 【定义１】 ：称 2 为 n维列向量，其中 ai 称为第 i 个分量。 a n (b1 , b2 , , bn )为 n维行向量。
【注】 列向量用 , , , 表示，行向量用 T , T , T 表 示.
xm m 0，
, m 线性相关。
反之，称1 , 2 , 若只有当 x1 , x2 , 则称1 , 2 ,
, m 线性无关。即
, xm 全为零时，才使得 xm m 0，
x11 x2 2
, m 线性无关。
【例 1】1 1, 2, 3 , 2 2, 3,4 , 3 0,0,0 ;
T T T
相关 相关
1 1, 2, 3 , 2 2,4,6 , 3 3,0,5 ; 相关
T T T
1 1, 2, 3 , 2 2, 3,4 , 3 3,5,7 ;
T T T
e1 (1,0,0)T , e2 (0,1,0)T , e3 (0,0,1)T .
齐次线性方程组的向量表示
a11 a 21 a m1 a12 a22 am 2 a1 n x1 0 a2 n x2 0 x amn n 0
x1 x 1 , 2 , , n 2 0 x n x11 x2 2 xn n 0
二.相关定理(或结论) 【结论 1】 向量组1 , 2 , , m 线性相关 1 , 2 , , m 中至少有一
个向量可由其余向量线性表示。
【结论 2】 向量组中含有零向量，则该向量组线性相关。
【结论 3】若1 , 2 ,
, m 线性相关,则1 , 2 , , m , m1必线性相关； 反之,若1 , 2 , , m , m 1线性无关, 则1 , 2 , , m 线性无关.
T T T
但矩阵 B ( 1
1 A ( 1 , 2 ) 0 0
1 0 1 , 2 , 3 ) 0 2 与矩阵 1 0 0 0 0 1 不等价。 (不同型 ) 0
(2) 矩阵等价不能确定其行(列)向量组等价。
1 0 1 【例】 （1）向量组 B : 1 0 , 2 2 , 3 1 , 0 0 0 1 0 0 能由向量组 A : 1 0 , 2 1 , 3 0 线性表示。 0 0 1
但向量组 B : 1 1, 0, 0 , 2 0, 1, 0 与向量组
T
§3.2
向量组的线性相关性
一.定义
【定义 4】 对设有向量组1 , 2 , x1 , x2 , , xm ，使得
, m ，若存在一组不全为零的数
x11 x2 2
则称向量组1 , 2 ,
但 3 不可由向量组 B 线性表示，故向量组 A 不可由 向量组 B 线性表示，进而向量组 A 与向量组 B 不等价。
1 0 1 （2）向量组 B : 1 0 , 2 2 , 3 1 0 0 0 1 0 与向量组 A : 1 0 , 2 1 等价。 0 0
对于列向量组
2 3 4 5
对于行向量组
T 1 (1, 2, 3) T 2
3 4 5 6

T 3
T 4
T 1 T (2, 3, 4) 2 T 3 (3, 4, 5) T (4, 5, 6) 4
1 2 3 4
1 0 反例：虽然矩阵 B ( 1 , 2 ) 0 0 0 A ( 1 , 2 ) 0 1 等价， 1 0