,l β能由,m α线)m α 12,,)m l αβββ,,,。

(填大于，小于或等于量组()11,1,1α=()1,2,3 ,()31,3,t α=线性 二、选择题：
C 、任意r 个行向量线性相关
D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示
3. 设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα>，则（ ）．
A 、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关
B 、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关
C 、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关
D 、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关
4. 下列命题中正确的是( )
(A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关
(C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关
5. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( )
（A ）s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s <
6. n 维向量组 s ααα，，
， 21(3≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）. (A ）s ααα，，
， 21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，
， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，
， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，
， 21中不含零向量 7. 向量组n ααα,,,21⋅⋅⋅线性无关的充要条件是（ ）
A 、任意i α不为零向量
B 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任两个向量的对应分量不成比例
C 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中有部分向量线性无关
D 、n ααα,,,21⋅⋅⋅中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示
8. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ）
A 、必有r 个行向量线性无关
B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组
C 、任意r 个行向量线性相关
D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示
9. 设A 为n 阶方阵，且秩12() 1.,A n αα=-是非齐次方程组AX B =的两个不同的解向量,则AX =0的通解为( )
A 、1αk
B 、2αk
C 、)(21αα-k
D 、)(21αα+k
10. 已知向量组()()()1231,1,1,1,2,0,,0,0,2,5,2t ααα=-==--的秩为2，则=t （ ）.
A 、3
B 、-3
C 、2
D 、-2
11. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ）
A 、必有r 个行向量线性无关
B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组
C 、任意r 个行向量线性相关
D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示
12. 设向量组A: 321,,ααα线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）
A 、321ααα++，321232ααα+-，321323ααα+-
B 、21αα+，32αα+，13αα-
C 、212αα+，3232αα+，133αα+
D 、12-αα+，32αα+，3212ααα++-
13. A 、B 均为n 阶方阵，X 、Y 、b 为1⨯n 阶列向量，则方程⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b O Y X O A B O 有
解的充要条件是（ ）
A 、n
B r =)( B 、n A r <)(
C 、)()(b A r A r =
D 、n A r =)(
14. 已知向量组A 线性相关，则在这个向量组中( )
(A)必有一个零向量 .
(B)必有两个向量成比例 .
（C)必有一个向量是其余向量的线性组合 .
(D)任一个向量是其余向量的线性组合 .
15. 设A 为n 阶方阵，且秩()1R A n =-,12,a a 是非齐次方程组Ax b =的两个不同的解向量, 则0Ax = 的通解为 ( )
（A ）12()k a a + （B) 12()k a a - （C) 1ka (D) 2ka
16. 已知向量组1,,m αα 线性相关， 则（ ）
（A ）该向量组的任何部分组必线性相关 .
（B) 该向量组的任何部分组必线性无关 .
（C) 该向量组的秩小于m .
(D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的.
17．已知123234(,,)2,(,,)3,R R αααααα==则 ( )
（A ）123,,ααα 线性无关 （B) 234,,ααα 线性相关
（C) 1α能由23,αα 线性表示 (D) 4α能由123,,ααα 线性表示
18. 若有 1133016,02135k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则k 等于
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
第三题 计算题：
1. 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα （1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组；
（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。

2. 求向量组A ： T )-2,6,2,0(1=α ，T )1,-2,-1,0(2=α，T )-2,-4,0,2(3=α，T )22,10,0(4-=，α，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.
3. 设()()()1231,4,32,,12,3,1T T T
a ααα==-=-,, 1) a 为何值时, 123,ααα,
线性无关. 2) a 为何值时, 123,ααα,
线性相关.
4. 求向量组()()()
123:1,2,1,12,3,1,24,1,1,0T T T A ααα=-=--=-、、的极大无关
组，并把其余向量用极大无关组线性表示.
5. 已知()()()()1231,4,22,7,30,1,3,10,4T T T T
a αααβ====,,,，问a 为何值时，β可由123ααα,
,唯一线性表示？并写出表示式
6. 设矩阵 21112112144622436979A --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭
, 求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组, 并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.
7. 求向量组A : T )2,1,1(1-=α，T )1,3,0(2=α，3(1,5,4)T α=，T )2,2,1(4-=α，5(2,3,4)T α=-的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.
8. 试求向量组1α=(1,1,2,2)T ,2α=(0,2,1,5)T ,3α=(2,0,3,-1)T ,4α=(1,1,0,4)T 的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。

9. 求向量组1α=(1,-2,3,-1,2)T ,2α=(3,-1,5,-3,-1)T , 3α=(5,0,7,-5,-4)T ,4α=(2,1,2,-2,-3)T 的秩和该向量组的一个最大无关组，并将不在最大无关组中的向量用最大无关组线性表示。

四、证明题：（10分）
1. 设向量组321,,a a a 线性无关，证明32121,,a a a a a -+也线性无关。

2. 设向量组A ：321,,ααα线性无关，求证：212αα+，3232αα-，133αα+线性无关.
3.已知向量组,,αβγ线性无关，123,,ηαβηβγηαγ=+=+=+，试证明向量组123,,ηηη线性无关.
4.已知向量组123,,a a a 线性无关，1223132αααααα++2,
+2,线性无关.
5. 若向量组ααα123,, 线性无关， 而1123βααα=++，21232βααα=++，312323βααα=++，试 证：βββ123,, 线性无关。

6. 已知向量组A : 1(0,1,1)T a =，2(1,1,0)T a =，向量组B : 1(1,0,1)T b =-，2(1,2,1)T b =，3(3,2,1)T b =-， 证明：向量组A 与向量组B 等价.。