第十一讲 立体几何之空间距离一、空间距离包括：点与点、点与线、点与面、线与线(异面直线）、线与面（线面平行)、面与面(面面平行)的距离。

要理解各个距离的概念。

二、空间距离的求法重点掌握:线线距离、点面距离、尤其点面距离 （1） 线线距离：找公垂线段 （2） 点面距离① 直接法（过点向面作作垂线段,即求公垂线段长度） ② 等体积法(三棱锥)③ 向量法：设平面α的法向量为n，P 为平面α外一点，Q 是平面α内任一点,则点P 到平面α的距离为ｄ 等于PQ 在法向量n上的投影绝对值。

d =三、例题讲解1、下列命题中:①ABCD PA 矩形⊥所在的平面，则P 、B 间的距离等于P 到BC 的距离； ②若,,,//αα⊂⊄b a b a 则a 与ｂ的距离等于a 与α的距离；③直线a 、ｂ是异面直线,,//,ααb a ⊂则a 、b 之间的距离等于b 与α的距离④直线a 、ｂ是异面直线，,//,,βαβα且⊂⊂b a 则a 、b 之间的距离等于βα、间的距离 其中正确的命题个数有（ Ｃ )A ． 1个 Ｂ. ２个 C. ３个 D. 4个２、如图所示，正方形的棱长为1，Ｃ、D 为两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点,那么点M 到截面ABCD 的距离是__________＿＿。

解析：取AB 、C Ｄ中点Ｐ、Q ，易证MPQ ∆中,ＰQ 边长的高MH 为所求,423,22==PQ PM 32=∴MH3、在底面是正方形的四棱锥Ａ-B ＣD Ｅ中，BCDE AE 底面⊥且AE=CD ＝a ， Ｇ、Ｈ是BE 、ＥD 的中点,则ＧH 到面ABD 的距离是_____＿＿____＿。

解析:连结EC ，交BD 于Ｏ，且交GH 于O '，则有平面ABD AEO 面⊥。

过Ｅ作AO EK ⊥于K ，则所求距离等于a AO EO AE EK 632121=⋅= 4、如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为棱ＡB 和B Ｃ的中点，Ｇ为上底面1111D C B A 的中心,则点D 到平面EF B 1的距离＿_＿________。

解：方法1:建立如图直角坐标系，则()()(),0,2,,0,,0,0,,,0,0,⎪⎭⎫ ⎝⎛a a E a C a a B a A ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a G a a a B a a F ,2,2,,,,0,,21 设平面FE B 1的法向量为()z y x n ,,1=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a EB a a EF ,2,0,0,2,210,0111=⋅=⋅∴EB n EF n⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⇒=+=⇒=+-∴02102022z y az y a x y y a x a取2=y , 则1,2-==z x 可取()1,2,21-=n又()a a a DB ,,1=D ∴到平面EF B 1的距离a aa a n n DB d =-+=⋅=322111方法2：等体积法设D 到平面EF B 1的距离为hEF B D DEF B V V 11--=EF B 1∆ 是等腰三角形，取E Ｆ中点H,连结H B 1EF B DEF S h S a 13131⋅=⋅ 可得a H B 4231= a a h a a a 42322214232221⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ a h =∴即D 到平面EF B 1的距离为a 。

5、如图所示,将等腰直角三角形ＡBC 沿斜边ＡＢ上的高C Ｄ为棱折成一个︒60的二面角，使Ｂ到1B 的位置，已知ＡB=2,求（1)顶点C 到平面D B A '的距离 (2）顶点A 到平面D B C '的距离 (3）ＣD 和B A '的之间的距离分析:有关立体几何中的翻折问题,主要判断翻折前后各种量的变化与否。

解析：（１）由已知得AB CD ⊥, 即B D CD AD CD '⊥⊥,在翻折前后它们的位置关系不变,B AD CD '⊥∴面，则C 点到平面B AD '的距离就是CD 的长,ABC ∆ 为等腰三角形，AＢ=2, 1=∴CD（2)如图所示,过A 作D B AE '⊥于E,连结CECD B CD B AD CD '⊂'⊥面面,B AD CD B '⊥'∴面平面 CD B AE '⊥∴面故ＡE 的长为A 点到平面CD B '的距离DC D B DC AD ⊥'⊥,B AD '∠∴为平面ACD 与平面CD B '所成二面角的平面角即︒='∠60B AD 23=∴AE （３）如图二,平面D B A '中，过D 作B A DF '⊥,交AB 于F 点D B A DF D B A CD '⊂'⊥,平面 DF CD ⊥∴DF ∴为异面直线CD 和B A '的距离由B D AE B A DF '⋅='⋅得 23=DF6、(06海淀模拟）如图所示,在直三棱柱ABC C B A -111中,21===CA CB CC ,CB AC ⊥ D 、E 分别为棱111C C ，，B C 中点（1） 求点Ｂ到平面CA C A 11的距离 （2） 求二面角A D A B --1的大小（3） 在线段ＡC 上是否存在一点F,使BD A EF 1面⊥?若存在，确定其位置并证明结论,若不存在，说明理由。

解析:（1)ABC C B A -111 为直三棱柱ABC CC 底面⊥∴1BC CC ⊥∴1CB AC ⊥CA C A BC 11平面⊥∴BC ∴长度即为Ｂ点到平面CA C A 11的距离 2=BC∴点Ｂ到平面CA C A 11的距离为2。

(2）ABC C B A -111 是直三棱柱,,21CB AC CA CB CC ⊥===Ｄ、Ｅ分别为棱111C C ，，B C 中点 建立如图直角坐标系()()()(),2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,01C A B C ()()()()2,0,1,1,0,0,2,2,0,2,0,211E D A B()1,0,2-=∴()2,2,21-=BA设平面BD A 1的法向量为()μλ,,1=n⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=++-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴21022202001μλμλμ得即BA n n ()2,1,1-=∴n∴平面11A ACC 的法向量为()0,0,1=m6661,cos ==∴m n即二面角A D A B --1的大小为66arccos 。

(3)在线段AC 上存在一点Ｆ，设()0,,0y F 使得BD A EF 1面⊥ 欲使BD A EF 1面⊥由（2)知当且仅当EF n //()12,,1=∴-=y y EF∴存在唯一一点()0,1,0F 满足条件 即点F 为AC 的中点７、（06年福建)如图所示,四面体ＡBCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点, ＣA=ＣB ＝C Ｄ=BD=2，ＡB=ＡD=2。

（1） 求证:BCD AO 面⊥（2） 求异面直线ＡB 与C Ｄ所成角的大小 （3） 求点Ｅ到平面A ＣD 的距离解析：方法1 （１）连结O ＣBDCO CD BC DO BO BDAO AD AB DO BO ⊥∴==⊥∴==,,在AOC ∆中，由已知可得3,1==CO AO 而AC ＝2222AC CO AO =+∴OC AO AOC ⊥︒=∠∴即90O OC BD =BCD AO 面⊥∴(2）取AC 中点Ｍ，连结OM ，ＭE,ＯＥ，由于E 为B Ｃ的中点知 M Ｅ／/AB,OE//DC∴直线ＯＥ与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中,121,2221====DC OE AB EM OM 是直角三角形AOC 斜边AC 上的中线121==∴AC OM 42cos =∠∴OEM ∴异面直线AB 与C Ｄ所成角的大小为42arccos。

（3)设点E 到平面ACD 的距离为hCDE A ACD E V V --=CDE ACD S AO S h ∆∆⋅=⋅∴3131 在ACD ∆中,2,2===AD CD CA2722222122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=∴∆ACDS而2324321,12=⨯⨯==∆CDE S AO 721=⋅=∴∆∆ACD CDE S S AO h ∴点E 到平面ACD 的距离为721。

方法2:(1)同方法1(２）以O 为原点，如图四所示建立空间直角坐标系,则()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,23,21,1,0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,1E A C D B()()0,3,1,1,0,1--=-=()42cos =⋅=⋅CDBA CD BA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为42arccos。

（３）设平面ACD 的法向量()z y x n ,,=则()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=--=⋅∴01,3,0,,01,0,1,,z y x AC n z y x n⎩⎨⎧=-=+∴030z y z x 令1=y 得()3,1,3-=n是平面A ＣD 是一个法向量 又⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0,23,21 ∴点E 到平面ACD 的距离为72173==⋅=n n EC h。