x
U A[a x b y ]
1/ 0
y
16
列昂剔夫型效用函数的等效用曲线
U A [a x b y ]
x
, 1/
或 U Ax / 1, y / 2
y
17
第二节 效用最大法则与需求函数
问题？
简述：求极值的方法。
18
一、效用最大的数学模型
Max s.t
U ( x1, x2 ) p1x1 p2 x2 M
a1/(1 ) 1
a p 1/(1 ) 1
/( 1) 1
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
31
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
p1x1
a1/(1 ) 1
等效用曲线
x
U A xa yb
y
12
第2种类型： 不变替代弹性型、或者CES型
U A[a1x1 an xn ]
1
பைடு நூலகம்
13
•线性生产函数形式：
x
U A[a x b y ]
1
y
14
•CD生产函数形式：
x
U A[a x b y ]
1/ 0
y
15
•一般CES生产函数形式：
p2 /( 1) a 1/(1 )
2
p /( 1) 2
M
34
• 于是可得最优支出比例为：
1
p1x1 :
p2 x2
a b
1
p1 p2
1
35
•效用函数的推导
练习：
如果某人对商品x和y的效用函数CES型效用函数。 已知两种商品支出比例的对数值与其价格比的对数 值符合下式，求效用函数的数学表达式。
19
二、效用最大法则:
通过求解消费者效用最大法则，就可以得到是 需求函数的数学表达式。
U (x1, x2 ) U (x1, x2 )
x1 x2
p1
p2
p1x1 p2 x2 M
20
效用最大数学模型
max
U
A
xa1 1
xa2 2
s.t
p1x1 p2 x2 M
ai 0, ai 1
效用最大法则
需求函数
p1 x1
a1
a1 a2
M
U (x1, x2 ) U (x1, x2 )
x1 x2
p1
p2
p1x1 p2 x2 M
p1x2
a2 a1 a2
M
21
问题？
选择题： a.需求函数与效用函数值的大小有关系。 b.需求函数与效用函数值的大小没有关系。 c.需求函数与效用函数值大小的关系不确
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
30
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
p1x1
• 什么是效用？ • 效用函数的解释变量是谁？
3
一、效用、效用函数的定义
• 经济学可以简单地定义如下：利用有限 的资源，合理安排生产，生产的产品在 消费者中进行合理的分配，达到人类现 在与未来的最大满足。
• 根据以上的定义，学习或者研究数量经 济学的首要任务是：如何用数学公式来 表示人类的满足程度和个人的满足程度。
求实现效用最大化的最优支出比例为多少？
p1x1 : p2 x2 ?
33
• 利用需求函数表达式可以求出：
p1 x1
a 1/(1 ) 1
a 1/(1 ) 1
p /( 1) 1
p /( 1) 1
a 1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
p2
x2
a 1/(1 ) 1
a 1/(1 ) 2
p /( 1) 1
定，有时候有关系，有时候没有关系。
22
问题：
有人认为，效用函数值的大小不能测量， 所以应该全盘否定西方经济学。 这一句话有没有道理？
23
练习： 如果人们收入中有60%购工业品， 数量为x, 40%购农业品，数量为y,
写出效用函数的数学表达式。
24
练习：如果人们收入中有60%购工业品，数 量为x, 40%购农业品，数量为y,写出效用函
数的数学表达式。
U A x0.6 y0.4
自己练习课后习题二
25
•最优支出比例的计算 练习
请求解：
Max s.t
U a1x1 a2 x2 p1x1 p2 x2 M
26
解: 可以根据高等数学当中求极值的方法来 求解以上问题 。 作拉格朗日函数:
a1x1 a2 x2 (M p1x1 p2 x2 )
a p 1/(1 ) 1
/( 1)
1
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
p2 x2
a1/(1 ) 1
a p 1/(1 ) 2
/( 1) 2
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
32
练习：
若效用函数为：
Max s.t
U (a1x1 a2 x2 )1/ p1x1 p2 x2 M
27
那么，极值的必要条件为：
x1
0
a1x1 1
p1
x2
0
a2x2 1
p2
28
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
29
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x1
x2
2U (x1, x12
x2
)
0
2U (x1, x22
x2 )
0
9
三、效用函数的主要形式及等效用曲线
• 问题
• 学习《计量经济学》过程中， 接触过哪些生产函数？
10
练习：写出效用函数的数学表达式
第1种类型：
对数线性型、或者柯布——道格拉斯型
U
Ax1a1
xan n
ai 0, ai 1
11
第一章
效用函数与需求函数
1
主要学习内容：
第一节 效用函数的数学表达式及其特性 第二节 效用最大法则与需求函数 第三节 效用函数、需求函数的实际应用
主要掌握内容：
• 效用函数的各种数学表达式 • 运用效用最大法则推导需求函数 • 效用函数、需求函数在实际中的简单应用
2
第一节 效用函数的数学表达式及其特性
4
衣着
食品 住宅 交通
U 效用函数或生活水平
函数
闲暇 安全 健康 家庭 荣誉
5
x1
…
xn
效用函数
U (x1, , xn )
6
二、效用函数的特性
•递增函数 二阶导数为负
效用函数递增法则 边际效用递减法则
U
E C
F A
D
U ( x)
x
B
1
2
3
7
8
U (x1, x2 ) 0 U (x1 , x2 ) 0