成都七中 2017～2018 学年度下期高 2020 届数学期末考
试
考试时间：120 分钟
满分：150
分
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1．数列 -1, 1 , - 1 , 1 , - 1 ……的一个通项公式为（
）
2 3 4 5
(-1)n
A.
n B. -
1 C.
n
(-1)n -1 1D.
n
n
2．已知 a = (cos 75︒, sin15︒) ,b = (cos15︒, s in 75︒) ，则 a ⋅ b 的值为（）
A. 0B .
1
C.
2
3 D. 1
2
3．在∆ABC 中， AB = 4 ， BC = 3， CA = 2 ，则∆ABC 为（）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
4．以下不等式正．确．的是（）
A. (x - 3)2 < (x - 2)(x - 4)
B. x 2 + y 2 > 2(x + y - 1)
C. 2 + 3 7 > 4
D. 7 +10 > 3 + 14
5．两平行直线 3x + 4 y -1 = 0 与 6x + ay + 18 = 0 的距离为（）
A. 19
B. 2
C.
5
8 D. 1
5
6．若关于 x 的不等式 - 1 x 2 + 2x > mx 的解集为 (0, 4) ，则实数 m 的值为（）
2
A.
-1
B. 0
C. 1
D. 2
7．过点 P (2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相．反．数．的直线方程为（）
A. x - y + 1 = 0或3x - 2 y = 0
B. x + y - 5 = 0
C.x - y + 1 = 0
D. x + y - 5 = 0或3x - 2 y = 0
8．一个棱长为 5cm 的表面涂为红色的立方体，将其适当分割成棱长为 1cm 的小正方体，则两．面．涂．色．的小正
方体的个数为（
）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48 9．如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①AF与BM成60︒角.
③BN ⊥DE.②AF与CE是异面直线.
④平面ACN // 平面BEM .
以上四个命题中，正．确．命题的个数是（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
10．已知数列{a n}的前n 项，前2n 项，前3n项的和分别为a ，b，c，则下列说法错．误．的是（）A.若{a n}是等差数列，则3b -3a =
c
B.若{a n}是等差数列，则a,b-a, c -b 也为等差数列
C.若{a n }是等比数列，则
a
2 +b2=ab +ac D.若{a n }是等比数列，则a,b-a, c -b 也为等比数列11．已知直线l 过点P(1, 3) ，交x 轴，y 轴的正半轴分别为A，B 两点，则PA⋅PB 的最大值为（）
A. 6
B. 3
C.
-3
D. -6
12．在锐．角．三角形ABC 中，sin A =k cos B c os C
(k为常数)，则tan B tan C 的取值范围是（）
⎛k 2 ⎤ ⎛k 2 ⎤
A. (0,k ]
B. (0,1)
C. 1，⎥
D. k,⎥
⎝ 4 ⎦⎝ 4 ⎦
二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．把答案填在答卷横线上)
13．已知∆ABC 中，A( -5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，则BC 边上的高所在直线的方程为；14．数列{a n}的前n 项和为S n，且S n + 2 = 2a n ，则a n = ；
15 ．某几何体为长方体的一部分，其三视图如图，则此几何体的体
积为；
16．在平．面．四边形ABCD 中，CD=6，对角线BD= 83 ，∠BDC =90︒，sin A = 3 ，则对角线AC 的最大值
2
为．
三、解答题（17 题10 分，18～22 每小题12 分，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}是等．差．数列，a1 =3，前三项和为15.数列{b n}是等．比．数列，公比为2，前五项和为62．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n+b n }的前n 项和．
18．在∆ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a,b, c ，且A，B，C 成等．差．数列，a c os A =b cos B ．（1）求cosA 的值；
（2）若a =5，求∆ABC 的面积．
19．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向西行，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶10km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北60°的方向上，仰角为30°．（注：山高CD ⊥平面ABC ）．
（1）求直线DA 与平面ABC 所成角的正切值；
（2）求二面角D -AB -C的正切值．
2333
20．如图，已知直线 l 1 ∥ l 2 ，A 为 l 1，l 2 之间的定点，并且 A 到的l 1，l 2 距离分别为 2，3，点 B ，C 分别是直
线 l 1，l 2 上的动点，使得 ∠BAC = α.过点 A 做直线 DE ⊥ l 1 ，交 l 1 于点 D ，交 l 2 于点 E ，设 ∠ACE = θ.（1）当 α = 90︒ 时，求∆ABC 面积的最小值；（2）当 α = 60︒ 时，求∆ABC 面积的最小值．
21．如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=6，点 E ，F 分别在 AD ，BC 上，且 AE=1，BF=4，沿 EF 将四边
形 AEFB 折成四边形 A 'EFB ' ，使点 B ' 在平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上．（1）求证：平面 B 'CD ⊥ 平面 B 'HD ；（2）求证： A 'D // 平面B 'FC ；
（3）求直线 HC 与平面 A 'ED 所成角的正弦值．
22．已知数列 {a n } 是正项数列，满足 (a 1 + a 2 + + a n )
= a 1+ a 2+ a n ．
（1）求数列 {a n } 的通项公式；
⎧1（2）求证：数列 ⎨⎫ 3⎬ 的前 n 项和 T n < ；
⎩ a n ⋅ a n + 2 ⎭
4⎛
a n +1 ⎫2
⎪
（3）若 0 < λ < 1， b n =
⎝ 2 ⎭ λ (1 - λ )，求证： 1b 1+ 1 b 2+ 1b 3+ + 1 b n
<
1 ．4。