第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。

证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。

又因,M N M ⊂ 故M N M =。

再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。

但,N M N ⊂所以MN N =。

2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。

证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。

反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。

若x M NL M N L ∈∈∈（），则x ，x 。

在前一情形X x M N ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。

,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： 0k a =； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：k a a =；8） 全体正实数r ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a =；解 1）否。

因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，例如 523n nx x ++--=（）（）。

2）令V={f （A ）|f （x ）为实数多项式，A 是n ×n 实矩阵} 因为f （x ）+g （x ）=h （x ），kf （x ）=d （x ） 所以f （A ）+g （A ）=h （A ），kf （A ）=d （A ）由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v 构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。

下面仅对反对称矩阵证明： 当A ，B 为反对称矩阵，k 为任意一实数时，有'''（A+B ）=A +B =-A-B=-（A+B ），A+B 仍是反对称矩阵。

KA KA K A KA ''==-=-（）（）（），所以kA 是反对称矩阵。

故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。

例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。

5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a ，b ）的负元是（-a ，2a -b ）。

对于数乘：即),(),(),()(b a l b a k b a l k ⊕=+。

＝)])(2)1((),([221212121a a k k a a b b k a a k +-++++， ＝)2)1(,()2)1(,(22222111a k k kb ka a k k kb ka -+⊕-+＝)2)1(2)1(,(21222221121a a k a k k kb a k k kb ka ka +-++-++＝)2)1(2)1()(),((212122221212121a a k a a k a k k a k k a a b b k a a k -+-++-++++＝))(2)1()(),((22221212121a a k k a a b b k a a k +-++++，即=⊕),(),(2211b a b a k ),()(221,1b a k b a k ⊕，所以，所给集合构成线性空间。

6）否，因为.01αα≠= 。

7）否，因为)()()(,2,)(αααααααααα l k l k l k l k +≠+=+=+=+所以， 所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足 所以，所给集合+R 构成线性空间。

4 在线性空间中，证明：1）00=k 2）βαβαk k k -=-)(。

证 1）00))(()1()())((0==-+=-+=-+=-+=ααααααααk k k k k k k k 。

2）因为()(),()k k k k k k k αββαββααβαβ-+=-+=-=-所以。

5 证明：在实函数空间中，1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。

证 因为1cos 22cos 2-=t t ，所以1，t t 2cos ,cos 2式线性相关的。

6 如果)(),(),(321x f x f x f 是线性空间][x P 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么他们线性无关。

证 若有不全为零的数321,,k k k 使0)()()(332211=++x f k x f k x f k ，不妨设,01≠k 则)()()(3132121x f k k x f k k x f --=，这说明)(),(32x f x f 的公因式也是)(1x f 的因式，即)(),(),(321x f x f x f 有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以)(),(),(321x f x f x f 线性无关。

7 在4P 中，求向量ζ在基4321,,,εεεε下的坐标。

设1）)1,1,2,1(),1,1,1,1(),11,1,1(),1,1,1,1(),1,1,1,1(4321=--=--=--==ζεεεε；2）)1,0,0,0(),1,1,1,0(),0,0,1,1(),1,3,1,2(),1,0,1,1(4321=--====ζεεεε。

解 1）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++1121d c b a d c b a d c b a d c b a ，可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为41,41,41,45-=-===d c b a 。

2）设有线性关系4321εεεεζd c b a +++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-=+++=++103002d b a d b d c b a c b a ，可得ζ在基4321,,,εεεε下的坐标为0,1,0,1=-===d c b a 。

8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P 上的空间P n n ⨯；2）P n n ⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A 的全体实系数多项式组成的空间,其中A=,00000012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ωω231i+-=ω。

解 1)nn P⨯的基是{),,...,2,1,}(n j i E ij =且2dim()n nPn ⨯=。

2) i)令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=...............1............1............ij F ，即,1==jiij a a 其余元素均为零,则{}nn n n F F F F F ,...,,...,,...,222,111 是对称矩阵所成线性空间n M 的一组基,所以n M 是2)1(+n n 维的。

ii)令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅⋅=...............1............1............ij G ，即),(,1j i a a jiij ≠=-=其余元素均为零,则{}n n n n G G G G G ,1223,112,...,,...,,...,-是反对称矩阵所成线性空间n S 的一组基, 所以它是2)1(-n n 维的。

iii) {}nnn n E E E E E ,...,,...,,...,222,111是上三角阵所成线性空间的一组基,所以它是2)1(+n n 维的。

3)任一不等于1的正实数都是线性无关的向量,例如取2，且对于任一正实数a ,可经2线性表出，即.2)(log 2 a a =,所以此线性空间是一维的，且2是它的一组基。

4)因为231i +-=ω,13=ω,所以⎪⎩⎪⎨⎧+=+===23,13,3,12q n q n qn nωωω，于是E A A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,1322ωω， 而⎪⎩⎪⎨⎧+=+===23,13,3,2q n A q n A q n E A n。

9.在4P 中,求由基,1ε，,,,432εεε到基4321,,,ηηηη的过渡矩阵,并求向量ξ在所指基下的坐标。

设)()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,114321εεεε，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=3,1,6,61,2,3,50,1,3,01,1,1,24321ηηηη，()4321,,,x x x x =ξ在4321,,,ηηηη下的坐标； )()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-=-=1,0,1,11,1,2,11,1,1,110,2,124321εεεε，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=2,1,3,12,1,1,22,2,1,01,0,1,24321ηηηη，()0,0,0,1=ξ在,1ε,,,432εεε下的坐标； )()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=--==1,1,1,11,1,1,11,1,1,11,1,1,134321εεεε，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--====1,1,1,00,0,1,11,3,1,21,0,1,14321ηηηη，()1,0,0,1-=ξ在4321,,,ηηηη下的坐标；解 )1（4321,,,ηηηη）=（,1ε,,,432εεε）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3101121163316502=（,1ε432,,εεε）A 这里A 即为所求由基,1ε,,,432εεε到4321,,,ηηηη的过渡矩阵，将上式两边右乘得1-A ， 得 （,1ε432,,εεε）=（4321,,,ηηηη）1-A ，于是=ξ（,1ε432,,εεε）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =（4321,,,ηηηη）1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ，所以在基下的坐标为1-A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321x x x x ，这里1-A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------272631912773200312723319427191113194。