微积分中不等式的证明方法讨论不等式的证明题经常出现在考研题中，虽然题目各种各样，但方法无非以下几种：1.利用函数的单调性证明不等式若在),(b a 上总有0)(>'x f ，则)(x f 在),(b a 单调增加；若在),(b a 上总有0)(<'x f ，则)(x f 在),(b a 单调减少。

注：考研题的难点是，构造恰当的辅助函数，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对),(b a 进行分割，分别在小区间上讨论。

例１：证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明.【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<， 则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【评注】 证明数值不等式一般需构造辅助函数，辅助函数一般通过移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作辅助函数()f x ，然后求导验证()f x 的增减性，并求出区间端点的函数值（或极限值）。

例2：设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b e a b ->-. 【分析】即证a e a b e b 22224ln 4ln ->- 证明： 设x ex x 224ln )(-=ϕ，则 24ln 2)(ex x x -='ϕ， 2ln 12)(x x x -=''ϕ, 所以当x>e 时，,0)(<''x ϕ 故)(x ϕ'单调减少，从而当2e x e <<时，044)()(222=-='>'e e e x ϕϕ， 即当2e x e <<时，)(x ϕ单调增加.因此当2e x e <<时，)()(a b ϕϕ>， 即 a e a b e b 22224ln 4ln ->-， 故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 【评注】 本题也可设辅助函数为2222),(4ln ln )(e x a e a x ea x x <<<---=ϕ，请自己证明。

例3：证明不等式：0)( )1(ln )1(22>-≥-x x x x 【分析】当1=x 时，两端都等于0， 等号成立；应分∞<<<<x x 110及两种情况讨论。

即证：（1）1ln )1(,1->+>x x x x（2） 22)1(ln )1(,1-=-=x x x x（3）1ln )1(,1-<+<x x x x下面的证明就简单了。

例4：设e a b >>，证明：ba ab a b +->)(2ln 【分析】该题的关键是设辅助函数，由多种设法（1）,)(2ln )(xa a x a x x f +--=e ab >> （2） )(2)ln )(ln ()(a x a x b a x f ---+=，e a b >>当然，第二种设法更简单例5：设e a x >>,0 ，证明a x a x a a )(+>+【分析】辅助函数也有多种设法（1）a x a x a a x f )()(+-=+，e a x >>,0（2） )ln(ln )()(x a a a x a x f +-+=，e a x >>,0（3） y a a y y f ln ln )(-=， e a y >>当然，第三种设法更简单。

2.利用拉格朗日中值定理证明不等式对于不等式中含有可考虑用的因子,)()(a f b f -拉格朗日中值定理先处理以下。

例6：证明：当0<b<a 时，bb a b a a b a -<<-ln 【分析】即证：b b a b a a 1ln ln 1<--< 证明：令],[,ln )(a b x x x f ∈=，在],[a b 上使用拉格朗日中值定理，知存在 ，使),(a b ∈ξξξ1)(ln ln ='=--f b a b a ,a b <<ξ所以ba 111<<ξ，即b b a b a a 1ln ln 1<--< ，变形得证。

例7：设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b e a b ->- 【分析】即前面的例2。

证明 对函数x x f 2ln )(=在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得.),(ln 2ln ln 22b a a b a b <<-=-ξξξ设t t t ln )(=ϕ，则2ln 1)(t t t -='ϕ， 当t>e 时， ,0)(<'t ϕ 所以)(t ϕ单调减少，从而)()(2e ϕξϕ>，即2222ln ln e e e =>ξξ， 故 )(4ln ln 222a b e a b ->-. 例8：设0)0(,0)(=<''f x f ， 证明：当+∈R x x 21,时，)()()(2121x f x f x x f +<+【分析】即证：,21x x ≤不妨设即证：)0()()()(1221f x f x f x x f +<-+，用中值定理并注意到)(x f '单调减小得证。

3.利用函数的最值证明不等式令],[)(a b x f 在区间上连续，则],[)(a b x f 在区间存在最大值M 和最小值m ，那么： M x f m ≤≤)(例9：设11≤≤x , 证明)1(,1)1(211>≤-+≤-p x x p p p 证明：令]1,0[,)1()(∈-+=x p x x f p p ，由0)1()(11=--='--p p x p px x f得11)1(---=p p x x ，球的惟一的驻点21=x ， 12121)(,1)1()0(-===p f f f ，121-p 和1是)(x f 在[0，1]上的最小值和最大值。

所以：,1)1(211≤-+≤-p p p x x 4.利用泰勒公式证明不等式如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。

例10：)(x f 在［０，１］上具有二阶导数，且满足b x f a x f ≤''≤)(,)(，c 是（０,１）内的任意一点．证明：22)(b a c f +≤' 证明：之间。

，在x c c x f c x c f c f x f ξξ,))((21))(()()(2-''+-'+= ),0(,)(21))(()()0(121c c f c c f c f f ∈''+-'+=ξξ………………………(1) ),0(,)1)((21)1)(()()1(222c c f c c f c f f ∈-''+-'+=ξξ………………(2) (2)-(1)得：])()1)(([21)()0()1(2122c f c f c f f f ξξ''--''+'=- ])(21)1)(([21)0()1()(2122c f c f f f c f ξξ''+-''++≤'22]221[22])1[(22222b a c c b a c c b a +<+-+=+-+≤，因为 c c <2 5.积分表示的不等式的证明例11: 设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()( 解：=)(x F ⎰⎰-'+'xg x f dt t g t f dt t f t g 010)1()()()()()(，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到=)1(F ⎰⎰-'+'1010)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ， 而 ⎰⎰⎰'-=='10101010)()()()()()()()(dt t g t f t f t g t df t g dt t f t g=⎰'-10)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0.因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有 ⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 010).1()()()()()( 例12:设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x a x adt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=b a b a dt t g dt t f )()(. 证明：⎰⎰≤ba b a dx x xg dx x xf )()(.解：令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而 ⎰⎰⎰⎰-=-==b a b a b a b a b a dx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有0)(≤-⎰b a dx x G ， 即 0)(≤⎰b a dx x xF .因此 ⎰⎰≤b a b a dx x xg dx x xf )()(.。