圆周运动受力分析1月3日☺ 训练1：匀速圆周运动向心力分析1. 质量为m 的小球，用长为l 的线悬挂在O 点，在O 点正下方2l处有一光滑的钉子O′，把小球拉到与O′在同一水平面的位置，摆线被钉子拦住，如图所示.将小球从静止释放.当球第一次通过最低点P 时，( ). A.小球速率突然减小 B.小球加速度突然减小C.小球的向心加速度突然减小D.摆线上的张力突然减小【提示】注意运动方向上没有力的作用，所以不用考虑速度的变化，最后根据速度不变，推导向心力变小，拉力变小。
【答案】BCD2. 个小狗拉雪橇在水平面内圆弧轨道匀速行驶，如图所示画出了雪橇受到的牵引力F 和摩擦力f之间的可能的方向关系示意图，其中正确的是：（ ）【解析】 摩擦力方向和运动方向相反，所以沿着切线，排除BC ．要有力提供向心力，所以选D 【答案】D3. 圆锥摆如右图所示，质量为m 的小球通过细绳挂着，在水平平面内以角速度ω转动，细绳与竖直方向夹角为θ，悬挂点到小球所在水平面距离为h ，绳子长度l 小球转动的周期为T ，下列说法正确的是：（ ）A ．质量增加，别的不变，则h 变大；B ．转动的角速度增加，则θ增大；C ．角速度增加，则h 增大；D ．转动的周期T 跟m 无关；【解析】 如图所示稳定运动的时候绳子的拉力和重力的合力提供向心力．2tan tan m h mg ωθθ=化简得到2h g ω=可见h 和质量无关和角速度反相关；所以排除A ，C ．角速度增加，h 变小，绳子长度不变，cos hlθ=所以θ增大，B 正确； 2T πω=只跟h ，g 有关，跟质量无关，所以D 也正确．【答案】 B D4. 如图所示，半径为r 的圆筒，绕竖直中心轴OO '转动，小物块a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的摩擦因数为μ．现要使a 不下滑，则圆筒转动的角速度ω应至少为（ ）AB【解析】 水平方向上2N mr ω=，竖直方向上mg N μ≤．故ω≥【答案】 D5. 如图所示，两个用同种材料制成的靠摩擦传动的轮A 和B 水平放置，两轮半径2A B R R =．当主动轮A 匀速转动时，在A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A 轮边缘上，若将小木块放在B 轮上，欲使木块相对B 轮也静止，则木块距B 轮转轴的最大距离为（ ）A ．/4B R B ．/3B RC ．/2B RD ．B R【解析】 两轮边缘上的线速度相等，由v R ω=得，12A B A B R R ωω==．小木块恰能静止在A 轮边缘，最大静摩擦力提供向心力，2A A mg mR μω=．设放在B 轮上能使木块相对静止的距B 转轴的最大距离为r ，则2Bmg m r μω=．由以上两式得22A ABR r ωω=，所以2211242A A B B B r R R R ωω==⨯=．故选项C 正确．【答案】 C6. 如图所示，OO '为竖直轴，MN 为固定在OO '上的水平光滑杆，有两个质量相同的金属球A B 、套在水平杆上，AC 和BC 是抗拉能力相同的两根细线，C 端固定在转轴OO '上。
当绳拉直时，A B 、两球转动半径之比为2:1，则当转轴的角速度逐渐增大时 A ．AC 先断B ．BC 先断C ．两线同时断D ．不能确定哪段线先断【解析】 22cos cos A A B BF mr F mr αωβω⎧=⎪⎨=⎪⎩，又有cos cos A B r AC r BC αβ=⎧⎨=⎩，可由AC BC >解出A B F F > 【答案】 A7. 如图所示，小物体A 与水平转盘间的最大静摩擦力m 5N f =，A 与转盘圆心间的距离为0.5m ，A 的质量1kg m =，且和一端固定在圆心的弹簧相连，弹簧自然长度00.4m l =，劲度系数100N/m k =．如果要二者保持相对静止地一起转动，其角速度的范围是多大？【解析】 设ω较大，A 物刚要向外滑动时，有2m max k x f m r ω+Δ=，得max ω=．设ω较小，A物刚要向圆心滑动时，有2m min k x f m r ω-Δ=，得min ω=．故A 不滑动时，ω的范围ω≤8. 质量相等的小球A B 、分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑水平面上绕O 点匀速转动时，如图所示，则杆的OA 段及AB 段对球的拉力之比为__________．【解析】 设A 、B 转动的角速度为ω，两段杆的长度均为l ．对A 有212T T ml ω-=，对B 有222T m l ω=⋅．由以上两式得出，1232T T =．【答案】 3:29. 如图所示，质量为0.1kg m =的小球和A 、B 两根细绳相连，两绳固定在细杆的A 、B 两点，其中A 绳长2m A L =，当两绳都拉直时，A 、B 两绳和细杆的夹角130θ=︒，245θ=︒，210m/s g =。
求：⑴ 当细杆转动的角速度ω在什么范围内，A 、B 两绳始终张紧？ ⑵ 当3rad/s ω=时，A 、B 两绳的拉力分别为多大？【解析】 ⑴ 当B 绳恰好拉直，但0B T =时，细杆的转动角速度为1ω，有：cos30A T mg ︒=21sin 30sin 30A A T m L ω︒=︒解得：1 2.4rad/s ω=当A 绳恰好拉直，但0A T =时，细杆的转动角速度为2ω，有： cos45B T mg ︒=22sin 45sin 30B A T m L ω︒=︒解得：2 3.15rad/s ω=要使两绳都拉紧2.4rad/s 3.15rad/s ω≤≤ ⑵ 当3rad/s ω=时，两绳都紧。
2sin 30sin 45sin 30A B A T T m L ω︒+︒=︒cos30cos45A B T T mg ︒+︒=解得：0.27N A T =， 1.09N B T =。
☺ 训练2：竖直面内圆周运动1. 如图是电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m 的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O 匀速转动，重锤转动半径为R 。
电动机连同打夯机底座的质量为M ，重锤和转轴O 之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度为g 。
⑴ 重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面？⑵ 若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？【解析】 ⑴ 重锤在定点所受的向心力的反作用力应该恰和整体的重力平衡。
2()m R M m g ω=+，ω=⑵ 在最低点2()N M m g m R ω=++，2()N M m g '=+【答案】 见解析2. 如图所示，工厂中的水平天车吊起质量为2.7t 的铸件，以2m/s 的速度匀速行驶，钢绳长3m ．当天车突然刹车时，钢绳所受的拉力为__________N ．（g 取210m/s ）【解析】 天车突然刹车时，由于惯性，重物仍具有原来的速度，并做圆周运动．故有2v T mg m l-=，所以243.0610N v T mg m l=+=⨯．【答案】 43.0610N ⨯3. 如图所示，长为2l 的轻杆，两端各固定一小球，A 球质量为m ，B 球质量为m '，且m m '＞，过杆的中心有水平光滑的固定轴，杆可绕这一水平轴在竖直平面内转动．当杆转到竖直位置时，转动角速度为ω，A 球正好位于上端，B 球位于下端，则杆作用于固定轴的力的方向一定向上的条件是什么?【解析】 两小球的角速度相同，m 受杆的拉力1T ，方向向下，21mg T mL ω+=；m '受杆的拉力2T ，方向向上，22T m g m L ω''-=．若杆作用在轴上的力一定向上，必有12T T >，即22mL mg m g m L ωω''->+，故ω>．4. 一辆汽车始终匀速10m/s v =行驶，车中的人用弹簧秤拉一个质量为5kg m =的重物．车经过的路径如图所示：A ，B 点的圆弧半径都为25m R =．问弹簧秤在A ，B ，C 三处的示数？（210m /s g =）【解析】 关键要分析清楚向心力是重力G 和弹簧秤对物体拉力'G 的合力．而弹簧秤的示数取决于这个拉力'G ．看清向心力F 的方向．【答案】 向心力2251020N 25mv F R ⨯=== 看起来的“重力”'70N AG mg F =+=；'30N B G mg F =-=；'50N C G mg == 所以弹簧秤的示数分别为7kg ，3kg ，5kg ．5. 载人飞船在起飞阶段，宇航员的血液处于超重状态，严重时会发生墨视，甚至危及生命.（1）假设飞船起飞时的加速度大小为260m/s a =，方向竖起向上，宇航员躺在飞船内的水平躺椅上，则躺椅对他的作用力约为他重力的多少倍？（g 取210m/s ）（2）为使宇航员适应上述情况，必须进行专门训练，若训练时宇航员乘坐的座舱在水平面内做半径20m R =的匀速圆周运动，让座舱在运动中加速度等于（1）问中飞船起飞时的加速度，则座舱每分钟应转多少圈？ 【解析】 （1）宇航员在竖直方向受重力和躺椅对他的作用力，向上做加速运动由牛顿第二定律有F mg ma -= 所以F ma mg =+，解得707F m mg ==。