第一章 §3 3.2 第2课时A 组·素养自测一、选择题1．若x ∈{x |－2＜x ＜0}，则x (2＋x )的最小值是( C ) A ．－2 B ．－32C ．－1D ．－12[解析] 因为x ∈{x |－2＜x ＜0}，所以2＋x ＞0，所以x (2＋x )＝－(－x )(2＋x )≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－x 22＝－1，当且仅当x ＝－1时，等号成立． 2．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( B )A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b2D ．x ≥a ＋b23．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≤2B ．a ≥2C ．a ≥3D ．a ≤3[解析] 由于x ＞1，所以x －1＞0，1x －1＞0，于是x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当1x －1＝x －1即x ＝2时等号成立， 即x ＋1x －1的最小值为3，要使不等式恒成立，应有a ≤3，故选D ．4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y 的最小值为( B ) A ．6 B ．9 C ．12D ．15[解析] x ，y 为正数，(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4xy ≥9，当且仅当y ＝2x 时等号成立．选B ．5．若对所有正数x ，y ，不等式x ＋y ≤a x 2＋y 2都成立，则a 的最小值是( A ) A ． 2 B ．2 C ．2 2D ．8[解析] 因为x ＞0，y ＞0， 所以x ＋y ＝x 2＋y 2＋2xy≤2x 2＋2y 2＝2·x 2＋y 2，当且仅当x ＝y 时等号成立， 所以使得x ＋y ≤ax 2＋y 2对所有正数x ，y 都成立的a 的最小值是2．故选A ．6．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] 因为点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 所以－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1．因为m ＞0，n ＞0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋4m ＋2n n ＝2＋n m ＋4m n ＋2≥4＋2·n m ·4mn ＝8，当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号．故选C ．二、填空题7．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是__2254__．[解析] (1)x ＋y ≥2xy ＝215，即x ＋y 的最小值是215；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝⎛⎭⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254．当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．8．已知正数a 、b 满足9a ＋1b ＝3，则ab 的最小值为__4__．[解析] 9a ＋1b＝3≥29ab⇒ab ≥2⇒ab ≥4． 当且仅当9a ＝1b ，即a ＝6，b ＝23时取等号．三、解答题9．若正数a 、b 满足：1a ＋2b ＝1，求2a －1＋1b －2的最小值．[解析] 正数a 、b 满足1a ＋2b ＝1，则1a ＝1－2b ＝b －2b ，则1b －2＝a b ，由正数a 、b 满足1a ＋2b ＝1，则2b ＝1－1a ＝a －1a ，则2a －1＝b a ，2a －1＋1b －2＝b a ＋ab≥ 2b a ·a b ＝2，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故2a －1＋1b －2的最小值为2． 10．某公司今年3月欲抽调一批销售员推销A 产品，根据过去的经验，每月A 产品销售数量y (万件)与销售员的数量x (人)之间的函数关系式为y ＝920xx 2＋3x ＋1 600(x ＞0)．在该月内，销售员数量为多少时，销售的数量最大？最大销售量为多少？(精确到0.1万件)[解析] 依题意得y ＝920x ＋3＋1 600x (x ∈N *)．因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(万件)． 所以当销售员为40人时，销售量最大，最大销售量约为11.1万件．B 组·素养提升一、选择题1．已知m ，n ∈R ，且m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( B ) A ．100B ．50C ．20D ．10[解析] 由m 2＋n 2≥2mn得mn ≤m 2＋n 22＝50，当且仅当m ＝n ＝±52时等号成立．2．已知0＜x ＜1，a ，b 为常数，且ab ＞0，则y ＝a 2x ＋b 21－x 的最小值为( A )A ．(a ＋b )2B ．(a －b )2C ．a ＋bD ．a －b[解析] y ＝a 2x ＋b 21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x [x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 2(1－x )x ＋b 2x 1－x≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当x ＝a a ＋b时取等号．3．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( B ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8[解析] (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2y x ·axy＝1＋a ＋2a ， 当且仅当y x ＝axy ，即y ＝ax 时取等号．依题意得1＋a ＋2a ≥9，即(a －2)(a ＋4)≥0，又a ＋4＞0，∴a ≥2，解得a ≥4，故a 的最小值为4，故选B ．4．(多选题)已知集合U ＝R ，A ＝{p |p ＝a ＋1a －2，a ＞2}，B ＝{q |q ＝－x 2＋8，x ∈R }，则下列正确的是( ABD )A ．A ∩B ＝{x |4≤x ≤8} B ．A ∪B ＝RC ．A ⊆BD ．∁U A ⊆B[解析] 由a ＞2，故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时取等号． 所以A ＝{p |p ≥4}，B ＝{q |q ≤8}．故选ABD ． 二、填空题5．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值是__1__．[解析] f (x )＝(x －2)2＋12x －4＝x －22＋12x －4＝2x －44＋12x －4≥22x －44·12x －4＝1． 当且仅当2x －44＝12x －4，即x ＝3时取“＝”．6．(2021·湖南湘潭高二期末)一批救灾物资随51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v 2800 km ，那么这批物资全部到达灾区，最少需要__10__h ．[解析] 当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了50·v 2800v ＝v16小时，最后一辆车走完全程共需要400v 小时，所以一共需要400v ＋v 16小时，结合基本不等式，计算最值，可得400v ＋v16≥2400v ·v16＝10，故最小值为10小时． 三、解答题7．(2020·福建厦门双十中学高二上第二次月考)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b ．(1)求a ＋b 的最小值；(2)证明：a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．[解析] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，且a ＞0，b ＞0，得ab ＝1．(1)由基本不等式及ab ＝1，知a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2．(2)证明：由(1)知a 2＋b 2≥2ab ＝2，且a ＋b ≥2，因此a 2＋b 2＋a ＋b ≥4，① 假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则a 2＋b 2＋a ＋b ＜4，② ①②两式矛盾，故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．8．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量(也即该产品的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解析] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5·8＋16xx(元)，∴2020年该产品的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)． (2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时，y max ＝21．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。