海南省2020届高三数学第一次联考试题（含解析）考生注意：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）A. {2}B. {1,0,1}-C. {2,2}-D.{1,0,1,2}-【答案】A 【解析】 【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解.【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为（ ）A. 20,(1)(1)∀>+-x x x xB. 20,(1)(1)∀+>-x x x xC. 20,(1)(1)∃>+-x x x x D. 20,(1)(1)∃+>-x x x x【答案】C 【解析】 【分析】根据命题否定形式，即可求解.【详解】命题“20,(1)(1)∀>+>-x x x x ”的否定为“20,(1)(1)∃>+-x x x x ”.【点睛】本题考查全称命题的否定，要注意全称量词和存在量词之间的转换，属于基础题. 3.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】作出韦恩图，数形结合，即可得出结论. 【详解】如图所示，⊆⇒⋂=∅UA B A B ，同时⋂=∅⇒⊆UA B A B .故选:C.【点睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.4.已知函数()f x 的导函数2()33'=-f x x x ，当0x =时，()f x 取极大值1，则函数()f x 的极小值为（ ） A.12B. 1C.32D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据已知设323()2=-+f x x x c ，由(0)1f =，求出解析时，再由()0f x '=，即可求出结论 【详解】当2()330'=-=f x x x 时，0x =或1，又()f x 在0x =处取极大值，在1x =处取极小值.令323()2=-+f x x x c ，(0)1f =，∴1c =， ∴323()12f x x x =-+，则1()(1)2f x f ==极小值.【点睛】本题考查函数的极值，属于基础题.5.已知函数2,0()0x x f x x -⎧⎪=>，若()02f x <，则0x 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞-B. (1,0]-C. (1,)-+∞D. (,0)-∞【答案】B 【解析】 【分析】对0x 分类讨论，代入解析式求出0()f x ，解不等式，即可求解.【详解】函数2,0()0xx f x x -⎧⎪=>，由()02f x <得00220xx -⎧<⎪⎨⎪⎩或020x <>⎪⎩解得010-<x . 故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题. 6.已知01021:1,log 2p x x ∃>>；:,xq x R e x ∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A. p 真q 真 B. p 假q 假C. p 真q 假D. p 假q 真【答案】D 【解析】 【分析】先判断命题,p q 真假，根据对数函数单调性，可判断命题p 为假，构造函数()xf x e x =-，判断命题q 为真，即可得出结论. 【详解】命题p ：当01021,log 0x x ><，命题p 为假命题；命题q ：设(),()1xxf x e x f x e '=-=-，()0,0,()0,0f x x f x x ''>><<，()f x 递增区间是(0,)+∞，递减区间是(,0)-∞，0x =时，()f x 取得极小值，也是最小值为1，即()10,xf x e x ≥>>恒成立，所以命题p 为真.故选:D.【点睛】本题考查含有量词的命题的真假，作差法构造函数是解题的关键，或利用函数的图像亦可判断命题真假，属于基础题.7.已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ）A. {|61}-<x xB. {|112}<x xC. {|110}-<x xD. {|56}-<x x【答案】C 【解析】 【分析】根据*A B 定义，求出*A B ，即可求出结论.【详解】因为集合{|15}=-B x x ，所以{|51}=--B x x ， 则*{|61}=-<A B x x ，所以*(*){|110}=-<B A B x x . 故选:C.【点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 8.函数2log y x x =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】结合图象只需研究函数零点个数，即可判断选择. 【详解】当4x =时2log 0y x x ==，所以舍去D; 当16x =时2log 0y x x ==，所以舍去BC ； 故选：A【点睛】本题考查利用函数零点判断函数图象，考查基本分析判断能力，属基础题.9.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x xf xg x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ） A. (1,1)- B. (,1)-∞ C. (1,)+∞ D. (1,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性用方程法求出(),()f x g x 的解析式，进而求出a ，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.【详解】依题意有()()2xxf xg x a a-+=-+， ①()()2()()--+-=-+=-+x x f x g x a a f x g x ， ②①-②得(),()2-=-=x xf x a ag x ，又因为(2)g a =，所以2,()22-==-x xa f x ，()f x 在R 上单调递增，所以函数()22f x x +的单调递增区间为(1,)-+∞. 故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.10.如图是二次函数2()f x x bx a=-+的部分图象，则函数()ln()g x a x f x'=+的零点所在的区间是（）A.11,42⎛⎫⎪⎝⎭B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. (1,2)D. (2,3)【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴得出b范围，y轴截距，求出a的范围，判断()g x在区间端点函数值正负，即可求出结论.【详解】∵2()f x x bx a=-+，结合函数的图象可知，二次函数的对称轴为2b x=，0(0)1<=<f a，1122<=<b x，∵()2'=-f x x b，所以()ln()ln2'=+=+-g x a x f x a x x b在(0,)+∞上单调递增. 又因为11ln10,(1)ln12022⎛⎫=+-<=+->⎪⎝⎭g a b g a b，所以函数()g x的零点所在的区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点，属于基础题.11.对于任意x∈R，函数()f x满足(2)()f x f x-=-，且当1x时，函数()1f x x=-若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f，则,,a b c大小关系是（）A. b c a <<B. b a c <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论.【详解】对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，当1x ≥时，()f x =所以()f x 在定义域R 上是单调增函数. 因为111232-<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ， b c a <<.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..12.已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A. 12a >-B. 1016a <<C. 116a >或102a -<< D. 116a >【答案】D 【解析】 【分析】先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即()0f x '=在(1,4)上有解，即可得出结论.【详解】21241()24--'=--=ax ax f x ax a x x，若()f x 在(1,4)上不单调，令2()241=--g x ax ax ，则函数2()241=--g x ax ax对称轴方程为1x=在区间(1,4)上有零点（可以用二分法求得）.当0a=时，显然不成立；当0a≠时，只需(1)210(4)1610ag ag a>⎧⎪=--<⎨⎪=->⎩或(1)210(4)1610ag ag a<⎧⎪=-->⎨⎪=-<⎩，解得116a>或12a<-.故选:D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中的横线上.13.如图，直线l是曲线()y f x=在3x=处的切线，则(3)f'=________.【答案】12.【解析】【分析】求出切线l的斜率，即可求出结论.【详解】由图可知直线l过点3(3,3),0,2⎛⎫⎪⎝⎭，可求出直线l的斜率3312302-==-k，由导数的几何意义可知，1(3)2f'=.故答案为:12.【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.14.已知集合{|||4,},{1,}=<∈=A x x x Z B m ，若A B A ⋃=，且3m A -∈，则实数m 所有的可能取值构成的集合是________. 【答案】{0,2,3}. 【解析】 【分析】化简集合A ，由B A ⊆，以及3m A -∈，即可求出结论. 【详解】集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，若A B A ⋃=， 则m 的可能取值为3,2,1---，0，2，3， 又因为3m A -∈，所以实数m 所有的可能取值构成的集合是{0,2,3}. 故答案为:{0,2,3}.【点睛】本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题. 15.设函数2()36f x x x =-+在区间[,]a b 上的值域是[9,3]-，则b a -的取值范围是__________. 【答案】[2,4]. 【解析】 【分析】2()36f x x x =-+配方求出顶点，作出图像，求出()9f x =-对应的自变量，结合函数图像，即可求解.【详解】22()363(1)3f x x x x =-+=--+，顶点为(1,3) 因为函数的值域是[9,3]-，令2369-+=-x x ，可得1x =-或3x =.又因为函数2()36f x x x =-+图象的对称轴为1x =， 且(1)3f =，所以b a -的取值范围为[2,4]. 故答案为:[2,4].【点睛】本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题.16.已知函数32()32=-+f x ax x ，若函数()f x 只有一个零点0x ，且00x >，则实数a 的取值范围_______. 【答案】(,2)-∞. 【解析】 【分析】求出()f x '，对a 分类讨论，求出()f x 单调区间、极值点，即可求出结论.【详解】32()32=-+f x ax x ，∴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-.又(0)2f =.①当0a =时，2()32=-+f x x 有两个零点，不合题意;②当0a >时，令()0,0f x x '==或2x a=， 当()0f x '>时，0x <或2x a>， ()f x ∴在(,0)-∞时单调递增，(0)2,,()f x f x =→-∞→-∞，()f x 在(,0)-∞存在一个零点，不合题意；③当0a <时， ()f x 的递减区间为2(,),(0,)a -∞∞，递增区间是2(,0)a，(0)2,,()f x f x =→+∞→-∞，()f x ∴在(0,)+∞存在唯一零点，当2x a=时，()f x 在(,0)-∞上取得最小值， 而32()32=-+f x ax x 在(,0)-∞上不能有零点，故32222()320f a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a <-故答案为:a <【点睛】本题考查函数的零点及含参系数的取值范围，熟练掌握三次函数图象是解题的关键，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|12}=-+B x x a .（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|12}=<-或A x x x ；（2）(,3](3,)-∞-+∞.【解析】 【分析】 （1）求出函数y =（2）化简集合B ，根据B A ⊆确定集合B 的端点位置，建立a 的不等量关系，即可求解. 【详解】（1）由21101--+x x ，即201x x -+得1x <-或2x ≥， 所以集合{|1A x x =<-或2}x .（2）集合{|12}{|12}=-+=---B x x a x a x a ， 由B A ⊆得21-<-a 或12--a ，解得3a >或3a -，所以实数a 的取值范围为(,3](3,)-∞-+∞.【点睛】本题考查集合的运算，集合间的关系求参数，考查函数的定义域，属于基础题.18.已知:p x R ∀∈，()241+>m x x ；:[2,8]∃∈q x ，2log 10+m x .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 与q 的真假性相同，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）1m <-或14m >.【解析】 【分析】（1）即求()241+>m x x 解集为R 时，m 的取值范围，对m 分类讨论，结合根的判别式，即可求解；（2）先求出q 为真时m 的范围，转化为求21[2,8],log x m x∃∈-，再由命题的真假，求出结论.【详解】（1）∵()2,41∀∈+>x R m x x ，∴0m >且21160-<m ， 解得14m >.所以当p 为真命题时，实数m 的取值范围是1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）[2,8]∃∈x ，221log 10[2,8],log +⇒∃∈-m x x m x. 又∵当[2,8]x ∈时，2111,log 3⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦x ，∴1m ≥-. ∵p 与q 的真假性相同.当p 假q 假时，有141m m ⎧⎪⎨⎪<-⎩，解得1m <-；当p 真q 真时，有141m m ⎧>⎪⎨⎪-⎩，解得14m >.∴当p 与q 的真假性相同时，可得1m <-或14m >. 【点睛】本题考查不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查命题的真假判断，意在考查对这些知识的掌握水平和分析推理能力，属于中档题.19.已知函数2()3log ,[1,16]=+∈f x x x ，若函数()22()[()]2=+g x f x f x .（1）求函数()g x 的定义域； （2）求函数()g x 的最值.【答案】（1）[1,4]；（2）函数()g x 的最大值为39，最小值为15. 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域以及复合函数的定义域求法，即可求解； （2）利用对数运算法则化简()g x ，配方转化为求二次函数的最值. 【详解】（1）函数()22()[()]=+g x f x f x满足2116,116,x x ⎧⎨⎩解得14x ，即函数()22()[()]=+g x f x f x 的定义域为[1,4].（2）因为[1,4]x ∈，所以2log [0,2]∈x .()()222222()[()]23log 62log =+=+++g x f x f x x x()22222log 10log 15log 510x x x =+⨯+=+-，当2log 0x =时，min ()15=g x ，当2log 2x =时，max ()39=g x ， 即函数()g x 的最大值为39，最小值为15.【点睛】本题考查复合函数的定义域及含对数的二次函数最值，熟练掌握二次函数性质是解题的关键，属于基础题.20.已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =.（1）求常数,a b 的值；（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.【答案】（1）29a b =⎧⎨=⎩；（2）0c 或4c =.【解析】 【分析】（1）求出()f x '，由(1)0,(1)0f f '-=-=，建立,a b 方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在[4,1]-的图象，即可求解.【详解】（1）2()36'=++f x x ax b ，由题意知2(1)0360(1)0130f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩'⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩（舍去）或29a b =⎧⎨=⎩.（2）当2,9a b ==时，2()31293(3)(1)'=++=++f x x x x x故方程()0f x '=有根，根为3x =-或1x =-，x (,3)-∞- 3-(3,1)--1-(1,)-+∞()f x '+-+()f x极大值 极小值由表可见，当1x =-时，()f x 有极小值0. 由上表可知()f x 的减函数区间为(3,1)--， 递增区间为(,3)-∞-，(1,)-+∞.因为(4)0,(3)4,(1)0,(0)4-=-=-==f f f f ，(1)20=f .由数形结合可得0c 或4c =.【点睛】本题考查导数几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.21.已知函数2()2,()2==+x f x g x x ax .（1）当1a =-时，求函数(())(23)=-y f g x x 的值域.（2）设函数(),()(),f x x b h x g x x b⎧=⎨<⎩，若0ab >，且()h x 的最小值为2，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,2562⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）⎛-∞ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）令22,2μμ=-=x x y ，求出u 的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；（2）对a 分类讨论，分别求出()f x 以及()g x 的最小值或范围，与()h x 建立方程关系，求出b 的值，进而求出a 的取值关系. 【详解】（1）当1a =-时，22(())2(23)-=-xxf g x x ，令22,2μμ=-=x x y ，∵[2,3]x ∈-∴[1,8]μ∈-，而2μ=y 是增函数，∴12562y ， ∴函数的值域是1,2562⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）当0a >时，则0,()>b g x 在(,)a -∞-上单调递减，在(,)a b -上单调递增，所以()g x 的最小值为2()0-=-<g a a ，()f x 在[,)+∞b 上单调递增，最小值为0221>=b ，而()h x 的最小值为2，所以这种情况不可能. 当0a <时，则0,()<b g x 在(,)b -∞上单调递减且没有最小值， ()f x 在[,)+∞b 上单调递增最小值为2b ，所以()h x 的最小值为2=b 12b =-（满足题意），所以111()2422⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g b g a f ，解得1224-a .所以实数a 的取值范围是1,4⎛--∞ ⎝⎦. 【点睛】本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.22.已知函数2()(1)1(,)xg x e a x bx a b R =----∈，其中e 为自然对数的底数. （1）若函数()()f x g x '=在区间[0,1]上是单调函数，试求a 的取值范围； （2）若函数()g x 在区间[0,1]上恰有3个零点，且(1)0g =，求a 的取值范围. 【答案】（1）3,1,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭e ；（2）(1,2)e -.【解析】 【分析】（1）求出()()g x f x '=，再求()0,[0,1]f x x '≥∈恒成立，以及()0,[0,1]f x x '≤∈恒成立时，a 的取值范围；（2）由已知(1)(0)0g g ==，()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点，转化为()()f x g x '=在区间(0,1)内恰有两个零点，由（1）的结论对a 分类讨论，根据()f x 单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.【详解】（1）由题意得()2(1)=---x f x e a x b ，则()2(1)x f x e a '=--，当函数()f x 在区间[0,1]上单调递增时，()2(1)0'=--x f x e a 在区间[0,1]上恒成立.∴()min2(1)1-=xa e （其中[0,1]x ∈），解得32a. 当函数()f x 在区间[0,1]上单调递减时，()2(1)0'=--x f x e a 在区间[0,1]上恒成立，∴()max2(1)-=xa e e （其中[0,1]x ∈），解得12+ea. 综上所述，实数a 的取值范围是3,1,22⎛⎤⎡⎫-∞⋃++∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭e .（2）()2(1)()'=---=xg x e a x b f x .由(0)(1)0g g ==，知()g x 在区间(0,1)内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调. ∴()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ， 同理()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x . ∴()f x 在区间(0,1)内恰有两个零点. 由（1）易知，当32a时，()f x 在区间(0,1)上单调递增， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意. 当12+ea时，()f x 在区间[0,1]上单调递减， 故()f x 在区间(0,1)内至多有一个零点，不合题意， ∴3122<<+ea .令()0f x '=，得ln(22)(0,1)x a =-∈， ∴函数()f x 在区间(0,ln(22)]-a 上单凋递减， 在区间(ln(22),1)-a 上单调递增. 记()f x 的两个零点为()1212,x x x x <，∴12(0,ln(22)],(ln(22),1)∈-∈-x a x a ，必有(0)10,(1)220=->=-+->f b f e a b . 由(1)0g =，得+=a b e .∴11()102f a b e ⎛⎫=-+=-<⎪⎝⎭又∵(0)10,(1)20=-+>=->f a e f a ， ∴12-<<e a .e .综上所述，实数a的取值范围为(1,2)【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.。