第8章 第1节一、选择题1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A.2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A[解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0，∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A.(理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A ．1B.12 C ．－12D ．－1 [答案] A[解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ，因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1.3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－2,2)D ．(2，－2) [答案] D[解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B. 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[－1,0]D ．[－2,0] [答案] D[解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题，∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0.5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，10)B ．(10，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，43∪(10，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫43，10 [答案] D[解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43<a<10，故选D.(理)如果点(5，a)在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则整数a 的值为( )A ．5B ．－5C ．4D ．－4[答案] C[解析] 由题意知(30－8a ＋1)(15－4a ＋5)<0，∴318<a<5，又a 为整数，∴a ＝4.6．(2010·南充市)在直角坐标平面上，向量OA →＝(1,3)、OB →＝(－3,1)(O 为原点)在直线l 上的射影长度相等，且直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率等于( )A ．1B.32C.12D.33 [答案] C[解析] 过原点作与直线l 平行的直线l′，则OA →、OB →在l′上的射影也相等，故A 、B 到直线l′的距离相等，设l′：y ＝kx ，则|k －3|1＋k2＝|－3k －1|1＋k2，∴k ＝－2或12， ∵l 的倾斜角为锐角，∴k ＝12.[点评] 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的一个方向向量为a ＝(1，k)，由OA →，OB →在a 上射影的长度相等可得|a·OA →||a|＝|a·OB →||a|，可解出k.7．设A(0,0)，B(2,2)，C(8,4)，若直线AD 是△ABC 外接圆的直径，则点D 的坐标是( )A ．(16，－12)B ．(8，－6)C ．(4，－3)D ．(－4,3) [答案] A[解析] 线段AB 的垂直平分线x ＋y －2＝0与线段AC 的垂直平分线2x ＋y －10＝0的交点即圆心(8，－6)，而圆心为AD 的中点，所以得点D 的坐标为(16，－12)．8．(文)(2010·福建莆田市质检)经过圆x2＋y2＋2x ＝0的圆心，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －1＝0[答案] B[解析] 设与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程为x －y ＋b ＝0，∵过圆心(－1,0)，∴b ＝1，故选B.(理)(2010·山东潍坊)设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N*)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn ，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为( )A ．－log20102009B ．－1C ．log20102009－1D ．1 [答案] B[解析] 由y ＝xn ＋1得y′＝(n ＋1)xn ，则在点(1,1)处切线的斜率k ＝y′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得，xn ＝n n ＋1， ∴log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log2010⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×20092010＝log201012010＝－1，故选B. 9．(文)直线l 过点(－2,0)，当l 与圆x2＋y 2＝2x 有两个交点时，直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 D.⎝⎛⎭⎫－18，18 [答案] C[解析] 由题意得，圆的方程为(x －1)2＋y2＝1，所以圆心为(1,0)，半径为1.当过点(－2,0)的直线l 与圆相切时，可求得直线l 的斜率k ＝±24.所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24.故选C. (理)(2010·汕头模拟)平行四边形ABCD 的一条对角线固定在A(3，－1)，C(2，－3)两点，D 点在直线3x －y ＋1＝0上移动，则B 点轨迹的方程为( )A ．3x －y －20＝0(x≠13)B ．3x －y －10＝0(x≠13)C ．3x －y －9＝0(x≠－8)D ．3x －y －12＝0(x≠－8)[答案] A [解析] 线段AC 的中点M ⎝⎛⎭⎫52，－2，设B(x ，y)，则B 关于点M 的对称点(5－x ，－4－y)在直线3x －y ＋1＝0上，∴3(5－x)－(－4－y)＋1＝0，即3x －y －20＝0.∵A 、B 、C 、D 不能共线，∴不能为它与直线AC 的交点，即x≠13.10．已知一动直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为p ，直线l 在两坐标轴上的截距之和为q ，且p 比q 大1，则这个三角形面积的最小值为( )A ．4B ．2＋ 6C ．4＋3 3D ．5＋2 6 [答案] D[解析] 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则12ab ＝a ＋b ＋1，∵a ＋b≥2ab ，∴12ab≥2ab＋1，即(ab)2－4ab －2≥0，解得ab ≥2＋6，∴12ab≥12×(2＋6)2＝5＋26，当a ＝b ＝2＋6时，三角形面积的最小值为5＋2 6.二、填空题11．(2010·深圳中学)已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－4，12，直线l 过点A(3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的一般方程为________．[答案] 2x －3y －9＝0[解析] a ＋2b ＝(－2,3)，设l 上任一点P(x ，y)，则AP →＝(x －3，y ＋1)，由条件知，(x －3，y＋1)·(－2,3)＝0，∴2x －3y －9＝0.12．(2010·浙江临安)设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y≤102x ＋y≥30≤x≤4y≥1所表示的平面区域，则区域D 中的点P(x ，y)到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是________．[答案] 4 2[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y ＝1与2x ＋y ＝3的交点(1,1)到直线x ＋y ＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2.13．(2010·安徽怀宁中学月考)“直线ax ＋2y ＋1＝0和直线3x ＋(a －1)y ＋1＝0平行”的充要条件是“a ＝____”．[答案] －2[解析] 由条件知a 3＝2a －1，∴a2－a －6＝0，∴a ＝－2或3，当a ＝3时，两直线重合不合题意，∴a ＝－2.14．(文)实数x 、y 满足3x －2y －5＝0 (1≤x≤3)，则y x 的最大值、最小值分别为________．[答案] 23，－1[解析] 设k ＝y x ，则y x 表示线段AB ：3x －2y －5＝0 (1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．∵A(1，－1)，B(3,2)．由图易知：kmax ＝kOB ＝23，kmin ＝kOA ＝－1.(理)(2010·河南许昌调研)如果f ′(x)是二次函数，且f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，－3)，那么曲线y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．[答案] [0，π2)∪(2π3，π)[解析] 由题意f ′(x)＝a(x －1)2－3，∵a>0，∴f ′(x)≥－3，因此曲线y ＝f(x)上任一点的切线斜率k ＝tanα≥－3，∵倾斜角α∈[0，π)，∴0≤α<π2或2π3<α<π.三、解答题15．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．[解析] 当0≤x≤10时，直线过点O(0,0)，A(10,20)，∴kOA ＝2010＝2，∴此时直线方程为y ＝2x ；当10<x≤40时，直线过点A(10,20)，B(40,30)，此进kAB ＝30－2040－10＝13， ∴此时的直线方程为y －20＝13(x －10)，即y ＝13x ＋503；当x>40时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为v1，放水的速度为v2，在OA 段时是进水过程，∴v1＝2.在AB 段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为v1＋v2＝13，∴2＋v2＝13.∴v2＝－53.∴当x>40时，k ＝－53.又过点B(40,30)，∴此时的直线方程为y ＝－53x ＋2903.令y ＝0得，x ＝58，此时到C(58,0)放水完毕．综上所述：y ＝⎩⎨⎧ y ＝2x ，0≤x≤1013x ＋503，10<x≤40－53x ＋2903，40<x≤58.(理)已知矩形ABCD 的两条对角线交于点M ⎝⎛⎭⎫12，0，AB 边所在直线的方程为3x －4y －4＝0.点N ⎝⎛⎭⎫－1，13在AD 所在直线上． (1)求AD 所在直线的方程及矩形ABCD 的外接圆C1的方程；(2)已知点E ⎝⎛⎭⎫－12，0，点F 是圆C1上的动点，线段EF 的垂直平分线交F M 于点P ，求动点P 的轨迹方程．[解析] (1)∵AB 所在直线的方程为3x －4y －4＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－43.又点N 在直线AD 上，∴直线AD 的方程为y －13＝－43(x ＋1)，即4x ＋3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －4＝04x ＋3y ＋3＝0，解得点A 的坐标为(0，－1)． 又两条对角线交于点M ，∴M 为矩形ABCD 的外接圆的圆心．而|MA|＝⎝⎛⎭⎫0－122＋－1－02＝52， ∴外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋y2＝54. (2)由题意得，|PE|＋|PM|＝|PF|＋|PM|＝|FM|＝52，又|FM|>|EM|，∴P 的轨迹是以E 、M 为焦点，长半轴长为54的椭圆，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∵c ＝12，a ＝54，∴b2＝a2－c2＝516－14＝116.故动点P 的轨迹方程是x2516＋y2116＝1.16．已知直线l1过点A(－1,0)，且斜率为k ，直线l2过点B(1,0)，且斜率为－2k ，其中k≠0，又直线l1与l2交于点M.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝⎛⎭⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C 、D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．[解析] (1)设M(x ，y)，∵点M 为l1与l2的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y x ＋1＝ky x －1＝－2k (k≠0)，消去k 得，y2x2－1＝－2， ∴点M 的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)．(2)由(1)知M 的轨迹方程为2x2＋y2＝2(x≠±1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则2x12＋y12＝2①2x22＋y22＝2②①－②得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，即y1－y2x1－x2＝－2×x1＋x2y1＋y2， ∵N ⎝⎛⎭⎫12，1为CD 的中点， 有x1＋x2＝1，y1＋y2＝2，∴直线l 的斜率k ＝－2×12＝－1，∴直线l 的方程为y －1＝－⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得2x ＋2y －3＝0.17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l1、l2都相切，求l2所在直线的方程和圆C 的方程．[解析] 直线l1：y ＝2，设l1交l 于点D ，则D(23，2)．∵l 的倾斜角为30°.∴l2的倾斜角为60°.∴k2＝ 3.∴反射光线l2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.已知圆C 与l1切于点A ，设C(a ，b)． ∵⊙C 与l1、l2都相切，∴圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， ∴b ＝－3a ＋8①圆心C 在过点A 且与l1垂直的直线上， ∴a ＝33②由①②得⎩⎨⎧a ＝33b ＝－1，圆C 的半径r ＝3， 故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.。