a a
2018/8/11
( 2k 1)180o 45o , 135o 4 0 3 1 j 1 j 1.25 4
1
（3）分离点
1 1 1 1 0 d d 3 d 1 j d 1 j
K* G( s) H ( s) s( s 3)(s 2 2s 2) K * ( s 4 5 s 3 8 s 2 6 s ) dK * ds
s d
,
D( s ) 1 G ( s ) H ( s ) 0
s ( s 3)(s 2 2s 2) K * s 4 5s 3 8s 2 6s K * 0
0 4d 3 15d 2 16d 6 0
d 2.3
（4）起始角（出射角）
3
s1,2 j1.095
2018/8/11
j
j1.095
3 2.3
1
0
j1.095

2018/8/11
4
例
c 已知系统开环传函如下，试求出根轨迹与虚轴的交点 K c* 及相应的开环根轨迹增益的临界值 。 K* G(s) H(s) (s 1)(s 2) 1) l k 0,1
d3 2 2.45 j
分离角
d
l=2时，
900
j
K* 0
d2
K* 0 K* 0 900 0 90 d 0 -4 1 -2

d3
K* 0
(6)起始角
p (2k 1) ( z p p p )
p3 180o ( 1 j ) ( 1 j 3) 90o
180 (90 tg 1) tg
2018/8/11
o
o
1
1
1 90o 71.6 o 2
2
p4 71.6o
（5）与虚轴的交点
运用劳斯判据
D(s) 1 G(s) H (s) 0
p 90
4
0
p4
j
K* 0
0 90 d
2
K* 0
K* 0 900 0 90 d 0 -4 1 -2

d3
K* 0
900
(7)与虚轴的交点
s(s 4)(s2 4s 20) K * 0
用s=jω代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别 相等：
4 36 2 K * (80 83 ) j 0
s4 s3 s s s0
2
D(s) s 4 5s 3 8s 2 6s K * 0
1 5
8 6
K*
6 8 K* 5 (204 25K * ) / 34 0 K*
由第一列、第四行元素为零
204 25K * 0
K * 8.16
由辅助方程
6 2 (8 )s 8.16 0 5
j
K* 0
K* 0
-4 -2
K* 0
0

K* 0
(5)分离点和分离角
1 1 1 1 0 d d 4 d 24 j d 24 j
经整理可得
(d 2)(d 2 4d 10) 0
求解上式可得三个分离点为
d1 2 d2 2 2.45 j
s 6s 11s K 6 0
3 2 *
令s=jω并代入特征方程得
jω3 6 ω2 j11ω K * 6 0
11ω ω3 0 其虚部和实部方程分别为 * 2 K 6 6 ω 0
ωc 11 * K c 60
解方程组得：
i
m
n
j 1
j i
j 1 j i
j i
复数极点p3和p4的起始角
p (2k 1) z
3
m
j 1
j pi
p j pi
j 1 j i
n
p3
j
(2k 1) (600 900 1200 ) 900
p2
-4
60
0
1200
0
p1

90 0
K* 0
900
K*
K*
4 36 2 K * 0
80 83 0
10
K * 3.25
j
K*
K* 0
0 90 d
K*
2
10 ( K * 3.25)
K* 0
K* 0 900 0 90 d 0 -4 1 -2
10 ( K * 3.25)

d3
j
K* 0
K* 0
-4
K* 0
0

K* 0
(4)渐近线:
渐近线在横轴上的公共交点为
nm 渐近线与横轴的夹角为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
4 2 4 j 2 4 j 2 4
2k 1 a 4
k 0,1, 2,3
k取0、l、2、3时，分别为450、1350、2250、3150。
例5 设系统开环传递函数
G( s) H ( s) K* s( s 3)(s 2 2s 2)
试绘制闭环系统大致的根轨迹。 解（1）无开环零点，开环极点 在实轴上根轨迹[-3，0]。 p1 0 , p 2 3 , p3, 4 1 j （2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点
例 已知系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根轨迹图。
K* G( s) H ( s) s( s 4)( s 2 4s 20)
解 ⑴根轨迹起始于开环极点p1=0、p2=-4、p3=-2+4j、 p4=-2-4j；终止于4个无限零点（没有有限零点)。 ⑵共有4个根轨迹分支，连续且对称于实轴。 ⑶实轴上的根轨迹是实轴上由0到-4的线段。