2020年北京初三数学二模分类汇编：几何综合【题1】（2020·东城27二模）27．在△ABC中AB=AC，BACα∠=，D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D,A,E不共线，连接AD,BD，CD．（1）如图1，当60α=︒，∠ADB=30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当90α=︒，∠ADB=45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当12ADBα∠=时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．【题2】（2020·西城27二模）27. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE >DE），AE，BD交于点F.（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H.求证：∠EAB =∠GHC；（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN.①依题意补全图形；②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．图1 备用图27．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90°，∴∠AGH =∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB =∠AGH．∴∠EAB =∠GHC．（2）①补全图形，如图所示．②AE ．证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．∵四边形ABCD是正方形，∴点A，点C关于BD对称．∴NA =NC，∠1=∠2．∵PN垂直平分AE，∴NA =NE．∴NC =NE．∴∠3=∠4．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD = 90°，∴∠AQE =∠4．∴∠1+∠AQE =∠2+∠3=90°．∴∠ANE =∠ANQ =90°．在Rt△ANE中，AFDCEBGHAFDCEBGHAFDCEBEC∴AE =． ····························································· 7分【题3】（2020·海淀27二模）27．如图1，等边三角形ABC 中，D 为BC 边上一点，满足BD CD <, 连接AD , 以点A 为中心,将射线AD 顺时针．．．旋转60°，与△ABC 的外角平分线BM 交于点E . （1）依题意补全图1； （2）求证：AD =AE ；（3）若点B 关于直线AD 的对称点为F ，连接CF .① 求证：AE ∥CF ；② 若BE CF AB +=成立，直接写出∠BAD 的度数为__________°.27．（1）依题意补全图形（2）证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB =AC ，∠BAC =∠ABC =∠C =60°. ∴ ∠1+∠2=60°.∵ 射线AD 绕点A 顺时针旋转60°得到射线AE ， ∴ ∠DAE =60°. ∴ ∠2+∠3=60°. ∴ ∠1=∠3.∵ ∠ABC =60°，∴ ∠ABN =180°-∠ABC =120°. ∵ BM 平分∠ABN ， ∴ ∠4=∠5=60°. ∴ ∠4=∠C. ∴ △ABE ≌△ACD . ∴ AD =AE .（3）① 证明：连接AF ，设∠BAD =α， ∵ 点B 与点F 关于直线AD 对称，AB CM备用图图 1MCEAM∴ ∠FAD =∠BAD =α，FA =AB . ∵ ∠DAE =60°，∴ ∠BAE =∠DAE -∠DAB =60°-α. ∵ 等边三角形ABC 中，∠BAC =60°， ∴ ∠EAC =∠BAE +∠BAC =120°-α.∵ AB =AC ，AF =AB ， ∴ AF =AC . ∴ ∠F =∠ACF .∵ ∠FAC =∠BAC -∠FAD -∠BAD =60°-2α， 且∠F +∠ACF +∠FAC =180°， ∴ ∠ACF =60°+α. ∴ ∠EAC +∠ACF =180°. ∴ AE ∥CF . ② 20°.【题4】（2020·朝阳27二模）27.已知40,AOB M ∠=︒为射线OB 上一定点，1,OM P =为射线OA 上一动点(不与点O 重合),1OP <，连接PM ，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转40︒，得到线段PN ，连接MN . (1)依题意补全图1; (2)求证:APN OMP ∠=∠;(3)H 为射线OA 上一点，连接NH .写出一个OH 的值，使得对于任意的点P 总有OHN ∠为定值，并求出此定值.27．解：（1）补全图形，如图所示.（2）证明：根据题意可知，∠MPN =∠AOB =40°，∵∠MPA =∠AOB +∠OMP =∠MPN +∠APN , ∴∠APN =∠OMP .（3）解： OH 的值为1.在射线PA 上取一点G ，使得PG =OM ，连接GN . 根据题意可知，MP =NP . ∴△OMP ≌△GPN .∴OP=GN ，∠AOB=∠NGP=40°.∴PG =OH .∴OP =HG . ∴NG =HG . ∴∠NHG =70°.∴∠OHN =110°.【题5】（2020·丰台27二模）27. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，将CA 绕点C 顺时针旋转45°得到CP ，点A 关于直线CP 的对称点为D ，连接AD 交直线CP 于点E ，连接CD ． （1）根据题意补全图形； （2）判断△ACD 的形状并证明；（3）连接BE ，用等式表示线段AB ，BC ，BE 之间的数量关系，并证明. 温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考下面几种解法的主要思路.解法1的主要思路：延长BC 至点F ，使CF =AB ，连接EF ，可证△ABE ≌△CEF ，再证△BEF 是等腰直角 三角形.AB C解法2的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，可证△ABM是等腰直角三角形，再证△ABC∽△AME.解法3的主要思路：过点A作AM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，设BN=a，EN=b，用含a或b 的式子表示出AB，BC.……27. 解：（1）正确补全图形：……………………………2分（2）△ACD是等腰直角三角形；…………………………………3分证明：∵将CA绕点C顺时针旋转45°，∴∠ACP=45°.∵点D与A关于直线CP对称，∴∠DCP=∠ACP=45°，AC=CD.∴∠ACD=90°.∴△ACD是等腰直角三角形. ………………………………4分（3）AB+BC；………………………………………………5分解法1证明：延长BC至点F，使CF= AB，连接DF，EF.∵△ACD是等腰直角三角形，AE=DE，∴AE=CE，∠AEC=90°.∵∠ABC=90°,∴∠BAE+∠BCE =180°.∵∠FCE+∠BCE =180°,∴∠BAE =∠FCE.∴△ABE≌△CFE. …………………………………………6分∴BE=FE , ∠1=∠2.∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°.即∠BEF=90°.∴△BEF是等腰直角三角形. ……………………………7分∴BC+CF.EAB CDP321EFAB CDP即AB +BC. ……………………………………8分解法2证明：过点A 作AM ⊥BE 于点M ,取AC 中点G ，连接GB ，GE . 设∠GBE =α，∠ABG =β, ∵∠ABC =∠AEC =90°, ∴AG =BG =EG =12AC . ∴∠ABG =∠BAC =β,∠GBE =∠GEB =α. 在△BGE 中，∵∠GBE +∠BGE +∠BEG =180°,∴2290180αβ=++︒︒. ∴45αβ+=︒.即 ∠ABE=45°. ……………………………………6分（或根据圆的定义判断A ，B ，C ，E 在以点G 为圆心的圆上，根据同弧CE所对圆周角相等，证明∠ABE=45°）∵∠AMB=90°,∴∠BAM=∠CAE=45°. ∴∠BAC=∠MAE . ∵∠ABC =∠AME=90°,∴△ABC ∽△AME . …………………………………………7分∴===AB BC ACAM ME AE∴BC =. 又∵AB =.∴AB +BC )=+=BM ME . ……………………8分解法3证明：过点A 作AM ⊥BE 于点M , 过C 作CN ⊥BE 于点N , ∴∠AME =∠CNE=90°. 即∠MAE +∠AEM=90°. ∵∠MEC +∠AEM=90°. ∴∠MAE =∠MEC . ∵AE=CE ,∴△AME ≌△ECN . ……………………………………6分 ∴AM=EN .同解法2，可证∠ABM=∠CBM=45°. ……………………………7分 设BN=a ,EN=bGPDCB AMEMPDCBAN E∴BC =，AB =.∴AB +BC )BN EN =+=. ……………………8分（说明：三条线段数量关系写为：()222E AB BC B =+等其他等式如果正确也给分 ）【题6】（2020·房山27二模）27. 点C 为线段AB 上一点，以AC 为斜边作等腰ADC Rt Δ，连接BD ，在ABD Δ外侧,以BD 为斜边作等腰Rt BED △，连接EC .（1）如图1，当30DBA =︒∠时： ① 求证：AC BD =；② 判断线段EC 与EB 的数量关系，并证明；图1（2） 如图2，当°45<∠<°0DBA 时，EC 与EB 的数量关系是否保持不变？ 对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1： 尝试将点D 为旋转中心. 过点D 作线段BD 的垂线，交BE 延长线于点G ，连接CG ；通过证明三角形ADB Δ≌CDG Δ全等解决以上问题；想法2： 尝试将点D 为旋转中心. 过点D 作线段AB 的垂线，垂足为点G ，连接EG .通过证明ADB Δ∽GDE Δ解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆. 过点D 作AB 垂线段DF ，连接EF ，通过证明D 、F 、B 、E 四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题.请你参考上面的想法，证明EC =EB （一种方法即可）EAC图227.（1）① 过点D 作DF ⊥AC 于F ……………………………………1分 ∵30DBA =︒∠ ∴BD DF 21=∵以AC 为斜边作等腰ADC Rt Δ ∴FC AF =∴AC DF 21= ∴AC BD = ……………………………………2分② ∵ 等腰ADC Rt Δ与等腰Rt BED △中AC BD =∴DE DC =， 45=∠=∠CDE FDC ∵30DBA =︒∠∴ 60=∠FDB , 15=∠CDB ∴ 60=∠CDE∴CDE Δ是等边三角形 ……………………………………3分 ∵DE EB =∴EB EC = ……………………………………4分（2）法1. 添加辅助线 ……………………………5分证出ADB Δ≌CDG Δ ……………………………6分 ∴ 45=∠=∠A DCG∴ 90=∠GCB ∵EB EG =∴ EB EC = ………………………………7分法2. 添加辅助线 ……………………………5分证出ADB Δ⁓GDE Δ …………………………6分 ∴ 45=∠=∠A DGE∴GE 平分DGC ∠ ∴GE 是DC 的中垂线∴ EB EC ED == ………………………………7分法3. 添加辅助线 ……………………………5分证出 45=∠EDB =∠EFB ……………………6分∴FE 是DC 的中垂线∴ EB EC ED == ……………………7分 【题7】（2020·顺义27二模）27．已知：在△ABC 中，∠ABC =90°，AB=BC ，点D 为线段BC 上一动点（点D 不与点B 、C 重合），点B 关于直线AD 的对称点为E ，作射线DE ，过点C 作BC 的垂线，交射线DE 于点F ，连接AE ．（1）依题意补全图形； （2）AE 与DF 的位置关系是 ； （3）连接AF ，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D 在运动变化的过程中，∠DAF 的度数始终保持不变，小昊 把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF = °，通过讨论，形成了证明该猜想的两种 想法：想法1：过点A 作AG ⊥CF 于点G ，构造正方形ABCG ，然后可证△AFG ≌△AFE ……想法2：过点B 作BG ∥AF ，交直线FC 于点G ，构造□ABGF ，然后可证△AFE ≌△BGC ……请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．27．解：（1）补全图形如下： ……………………………………………………… 1分EB（2）AE 与DF 的位置关系是 互相垂直 ； ………………………… 2分（3）∠DAF = 45° ………………………………………………… 3分（想法1图形）证明如下：过点A 做AG ⊥CF 于点G ，依题意可知：∠B =∠BCG =∠CGA =90°．∵AB =BC ，∴四边形ABCG 是正方形．…………………………………… 4分∴AG =AB ， ∠BAG =90°．∵点B 关于直线AD 的对称点为E ，∴AB =AE ，∠B =∠AED =90° ，∠BAD =∠EAD ．…………… 5分∴AG =AE ．∵AF =AF ，∴Rt △AFG ≌Rt △AFE (HL) ． ………………………………… 6分∴∠GAF =∠EAF ．∵∠BAG =90°，∴∠BAD +∠EAD +∠EAF +∠GAF =90°．∵∠BAD =∠EAD ， ∠EAF =∠GAF ，∴∠EAD +∠EAF =45°．即∠DAF =45°． …………………………………………… 7分（想法2图形）证明如下：过点B 作BG ∥AF ，交直线FC 于点G ，BBB A依题意可知：∠ABC =∠BCF =90°．∴AB ∥FG ．∵AF ∥BG ，∴四边形ABGF 是平行四边形．……………………………… 4分∴AF =BG ，∠BGC =∠BAF ．∵点B 关于直线AD 的对称点为E ，∴AB =AE ，∠ABC =∠AED =90° ，∠BAD =∠EAD ．…………5分∵AB =BC ，∴AE =BC ．∴Rt △AEF ≌Rt △BCG (HL) ………………………………… 6分∴∠EAF =∠CBG ．∵∠BCG =90°，∴∠BGC +∠CBG =90°．∴∠BAF +∠EAF =90°．∴∠BAD +∠EAD +∠EAF +∠EAF =90o ．∵∠BAD =∠EAD ，∴∠EAD +∠EAF =45°．即∠DAF =45°．……………………………………………… 7分【题8】（2020·门头沟27二模）27．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 上的两个动点（不与点A ，B ，C 重合），且AE =CF ，延长BC 到G ，使CG = CF ，连接EG ， DF .（1）依题意将图形补全；（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点E ，F运动过程中，始终有EG =.经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：想法一：连接DE ，DG ，证明△DEG 是等腰直角三角形；想法二：过点D 作DF 的垂线，交BA 的延长线于H ，可得△DFH 是等腰直角三角形，证明HF =EG ；……请参考以上想法，帮助小华证明EG =.（写出一种方法即可）DCB A【题9】（2020·平谷27二模）27．如图，在△ABM 中，∠ABC =90°，延长BM 使BC=BA ，线段CM 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CD ，连结DM ，AD ．（1）依据题意补全图形；（2）当∠BAM =15°时，∠AMD 的度数是 ；（3）小聪通过画图、测量发现，当∠AMB 是一定度数时，AM=MD ．小聪把这个猜想和同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：通过观察图形可以发现，如果把梯形ABCD 补全成为正方形ABCE ，就易证△ABM ≌△AED ，因此易得当∠AMD 是特殊值时，问题得证；想法2：要证AM=MD ，通过第（2）问，可知只需要证明△AMD 是等边三角形，通过构造平行四边形CDAF ，易证AD=CF ，通过△ABM ≌△CBF ，易证AM=CF ，从而解决问题；想法3：通过BC=BA ，∠ABC=90°，连结AC ，易证△ACM ≌△ACD ，易得△AMD 是等腰三角形，因此当∠AMD 是特殊值时，问题得证.请你参考上面的想法，帮助小聪证明当∠AMB 是一定度数时，AM=MB.(一种方法即可）27.（1）补全图形.....................................................................................１（2）60° (2)（3）当︒=∠75AMD 时结论成立. (3)证明：想法一：过A 作AE ⊥CD 于E ．∵∠B=∠C=∠E=90°AB=BC∴四边形ABCE 是正方形 (4)∴AB=AE ，∠B=∠E ，BC=CE∵MC=DC∴BM=DE∴△ABM ≌△AED (5)∴AD=AM∵∠AMD=75°∴△AMD 是等边三角形∴AM=DM (6)(其他证明方法类似给分，辅助线正确写出一个正确语句即给1分，证完全等2分，完全正确3分）【题10】（2020·密云27二模）27. 已知：MN 是经过点A 的一条直线，点C 是直线MN 左侧的一个动点，且满足60°<∠CAN <120°，连接AC ，将线段AC 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，在直线MN 上取一点B ，使∠DBN=60°．（1）若点C 位置如图1所示．① 依据题意补全图1；备用图图1② 求证：∠CDB=∠MAC ；（2）连接BC ，写出一个BC 的值，使得对于任意一点C ，总有AB+BD=3，并证明．27 . (1) ①………………………………2分② 证明：∵∠C=60°，∠DBN=60°∴∠C =∠DBN∵∠DBN +∠ABD=180°∴∠C+∠ABD=180°在四边形ACDB 中，∠CDB+∠BAC=180°∵∠BAC +∠MAC=180°∴∠CDB=∠MAC ………………………………4分(2) BC =3时，对于任意一点C ，总有AB+BD=3 ………………………………5分证明：连接BC ，在直线MN 上截取AH=BD ，连接CH∵∠MAC=∠CDB ，AC =CD∴ ………………6分∴∠ACH=∠DCB ，CH=CB∵∠DCB +∠ACB=∠ACD=60°∴∠HCB=∠ACH+∠ACB=60°∴△HCB 是等边三角形.∴BC =BH=BA+BD =3. ………………………………7分【题11】（2020·燕山27二模）27．已知菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点E 为边AD 上一个动点(不与点A ，D 重合)，点F 在边DC 上，且AE＝DF ，将线段DF 绕着点D 逆时针旋转120°得线段DG ，连接GF ，BF ，EF ．(1) 依题意补全图形；(2) 求证：△BEF 为等边三角形；(3) 用等式表示线段BG ，GF ，CF 的数量关系，并证明．DCB ACH ∆≅∆A D E27．(1)解：补全图形，如图．(2)证明：∵菱形ABCD ，∴AB ＝AD ．又∵∠A ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴∠ABD ＝∠BDC ＝60°，AB ＝BD ．在△ABE 和△DBF 中， AB ＝BD ，∠A ＝∠BDF ，AE ＝DF ，∴△ABE ≌△DBF ，∴BE ＝BF ，∠ABE ＝∠DBF ，∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠EBD ＋∠ABE ＝∠ABD ＝60°， ∴△BEF 为等边三角形．(3) BG ，GF ，CF 3BG －CF )＝2GF ． 证明：如图2，取FG 中点H ，连接DH ，∵AE ＝DF ＝DG ，∠FDG ＝120°，∴∠DFG ＝∠DGF ＝30°，DH ⊥GF ，∴GF ＝2GH ＝2DG ·cos303．又∵△BCD 为等边三角形，∴BD ＝CD ，∠BDC ＝60°．∵∠FDG ＝120°，∴∠BDC ＋∠FDG ＝180°，即B ，D ，G 三点在同一条直线上， ∴BG ＝BD ＋DG ＝CD ＋DG ＝CF ＋DF ＋DG ＝CF ＋2DG ， ∴BG －CF ＝2DG ． 3(BG －CF )＝3＝2GF ．G B CA D E F G HB CA D E F。