因此由柯西准则知级数 un 也是收敛的。
例1 证明级数
an n! 绝对收敛 .
证 由于对任何实数 有
lim un1 lim 0
n un
n n 1
所以对所考察的级数对任何实数 级数都绝对收敛
，
绝对收敛级数的两个重要性质
1. 级数的重排
定义:把正整数列{1,2, ,n } 到它自身的一一映射
定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对
收敛，则对（3）中所有乘积 uiv j 按任意顺序排列
所得到的级数 wn也绝对收敛，且其和等于AB. n 1
例2
等比级数
1
r n1
1 r n1
r ＜1 是绝对收敛的，将
按 r n 2
u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v3
§3 一般项级数
一、交错级数及其判别法
定义: 正、负项相间的级数
u1 u2 u3 u4 1n1un (un 0, n 1,2, ),
(1)
u n1 n
为交错级数
收敛
定理12.11（莱布尼茨判别法）设
(1)
u n1 n
满足以下两个条件
1）数列 un 单调递减
2）lim n
u
0
则
(1)
的顺序排列，则得到
1 1 (r r) (r 2 r 2 r 2 ) r n r n r n
(1 r)2
=1+2r 3r 2 (n 1)r n
三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法
引理（分部求和公式）设 i ,vi (i 1,2, , n) 为两组
实数，若令 k v1 v2 vk (k 1,2, , n)
u n1 n
证明 un1 un 0, s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
数列 s2n是单调增加的 , 又 s2n u1 (u2 u3 ) (u2n2 u2n1 ) u2n
u1 数列 s2n是有界的 ,
lim n
s2n

s
u1 .
且
lim
n
an
0,
又级数
bn
部分和数列有界,则级数
anbn 收敛.
例3 若数列{an} 具有性质:
a1 a2 an ,
lim
n
an
0,
则级数 an sin nx 和an cosnx 对任何 x (0,2 )
都收敛.
解:因为
2
sin
x 2
(
1 2
n k 1
cos
kx)
sin
x 2
(sin
和数.
注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛
也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛
级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何
事先指定的数.如：
(1)n1 1 1 1 1 1 1 1 A
n1
n 23456
(1)n1 1 1 1 1 1 1 1 3 A
n1
n 32574
（2）对任一正整数 k(1 k n) 有 | k | A, 则记
n
max{| k
k
|} 时，有：|
k vk
k 1
|
3A
证：由（1）知 1 2,2 3, ,n1 n 都是
同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得
n
| kvk || (1 2 )1 (2 3) 2 (n1 n ) n1 n n | k 1 | (1 2 ) (n1 n ) | A | n |
2
2. 级数的乘积
设 un u1 u2 un A (1)
vn v1 v2 vn B (2)
为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有 可能的乘积列成下表：
u1v1 u1v2 u2v1 u2v2 u3v1 u3v2
u1v3 u2v3 u3v3
u1vn u2vn u3vn
lim
n
u2n1
0,
lim n
s2n1
lim(
n
s2n
u2n1 )
s,
所以数列 Sn 收敛
推论 若级数
(1)
u n1 n
满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数
(1)
u n1 n
的余项估计式为
Rn un1
对于级数
() n1 , n
(1) n1 n
10 n 根 据
莱布尼茨判别法易知都是收敛
的。
A | 1 n | A | n |
A(| 1 | 2 | n |) 3A
以下讨论级数
anbn a1b1 a2b2 anbn 的收敛性。
n1
定理12.15 (阿贝尔判别法) 若{an} 为单调有界
数列,且级数 bn 收敛,则级数 anbn 收敛.
定理12.16 (狄利克雷判别法)若 {an} 单调递减,
二、绝对收敛与条件收敛
若级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛
若级数 un 收敛，但是级数 un 不收敛，则称级数
un 为条件收敛。
定理12.12 若级数 un 收敛，则级数 un 收敛
证 对任何正数
总存在正数N，使得n>N和任意正数r,有
um1 um2 umr
由于
um1 um2 umr um1 um2 umr
3x 2
sin
x 2
)
[sin(n 1)x sin(n 1)x] sin(n 1)x
2
2
2
当 x (0,2 ) 时,sin x 0, 故得到
f : n k(n) 称为正整数列的重排,相应地对于数列
{un} 按映射 F : un uk(n) 所得到的数列 {uk(n)}称为原
级数的重排,相应也称级数 uk(n)是级数 un 的
n 1
n 1
重排.
定理12.13 设级数 un 绝对收敛,且其和等于 S n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的
unv1 unv2 unv3 unvn
这些乘积 uiv j 可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相 加，于是分别有：
u1v1 u1v2 u2v2 u2v1 u1v3 u2v3 u3v3 和 u1v1 u1v2 u2v1 u1v3 u2v2 u3v1
则有如下分部求和公式成立：
n
ivi (1 2 )1 (2 3) 2 (n1 n ) n1 n n
i1
证：以 v1 1,vk k k1 (k 2,3, , n) 分别乘以 k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
推论 （阿贝耳引理）若
（1） 1,2 , ,n 是单调数组；