第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1、重点①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角；②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程），两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点①向量积（方向）、混合积（计算）；②掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形；③空间曲线在坐标面上的投影；④特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等；）⑤平面方程的几种表示方式之间的转化；⑥直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量及其线性运算①向量的基本概念：向量:既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量有向线段的长度表示向量的大小有向线段的方向表示向量的方向.；向量的符号:以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作向量可用粗体字母表示也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F或、、、；向量的模:向量的大小叫做向量的模向量a、、的模分别记为|a|、、单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量；向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a与b平行记作a // b零向量认为是与任何向量都平行；两向量平行又称两向量共线零向量:模等于0的向量叫做零向量记作0或零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k(k3)个向量当把它们的起点放在同一点时如果k个终点和公共起点在一个平面上就称这k个向量共面；两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与b的夹角记作或如果向量a与b中有一个是零向量规定它们的夹角可以在0与之间任意取值；②向量的线性运算向量的加法（三角形法则）：设有两个向量a与b平移向量使b的起点与a的终点重合此时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和记作a+b即ca+b .:平行四边形法则:向量a与b不平行时平移向量使a与b的起点重合以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和ab向量的加法的运算规律: (1)交换律abba (2)结合律(ab)ca(bc)负向量: 设a为一向量与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量记为a向量的减法:把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量便是向量b与a的差ba向量与数的乘法：向量a与实数的乘积记作规定a是一个向量它的模|a||||a| 它的方向当>0时与a相同当<0时与a相反当0时 |a|0 即a为零向量这时它的方向可以是任意的运算规律: (1)结合律 (a)(a)()a； (2)分配律 ()aaa；(ab)ab向量的单位化: 设a0则向量是与a同方向的单位向量记为e a，于是a|a|e a 定理1 设向量a0那么向量b平行于a的充分必要条件是: 存在唯一的实数使b a③空间直角坐标系在空间中任意取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴它们构成一个空间直角坐标系称为Oxyz坐标系注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x轴和y轴配置在水平面上而z轴则是铅垂线;(3)数轴的的正向通常符合右手规则坐标面: 在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面另两个坐标面是yOz面和zOx面卦限:三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy面的上方在xOy面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy面的下方与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点M使以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有设则上式称为向量r的坐标分解式x i、y j、z k称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作r(x y z)向量称为点M关于原点O的向径④利用坐标作向量的线性运算设a(ax ay az) b(bx by bz)ab(axbx ayby azbz)ab(axbx ayby azbz)a(ax ay az)利用向量的坐标判断两个向量的平行:设a(ax ay az)0 b(bx by bz) 向量b//aba即b//a(bx by bz)(ax ay az) 于是⑤向量的模、方向角、投影设向量r(x y z) 作则向量的模长公式设有点A (x1 y1 z1)、B(x2 y2 z2)(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1)A、 B两点间的距离公式为：方向角：非零向量r与三条坐标轴的夹角、、称为向量r的方向角设r(x y z) 则x|r|cos y|r|cos z|r|coscos、cos、cos 称为向量r的方向余弦从而 cos2cos2cos21投影的性质性质1 (a)u|a|cos (即Prj u a|a|cos ) 其中为向量与u轴的夹角性质2 (ab)u(a)u(b)u (即Prj u(ab) Prj u a Prj u b)性质3 (a)u(a)u (即Prj u(a)Prj u a)2、数量积、向量积、混合积①两向量的数量积数量积对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量a和b的数量积记作ab即a·b|a| |b| cos数量积的性质(1)a·a|a| 2(2) 对于两个非零向量a、b如果a·b0则ab;反之如果ab则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直则ab a·b0两向量夹角的余弦的坐标表示设(a ^ b) 则当a0、b0时有数量积的坐标表示设a(ax ay az )b(bx by bz ) 则a·b axbxaybyazbz数量积的运算律(1)交换律a·b b·a;(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)·b a·(b) (a·b)(a)·(b) (a·b)、为数②两向量的向量积向量积设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出c的模|c||a||b|sin 其中为a与b间的夹角;c的方向垂直于a与b所决定的平面c的指向按右手规则从a转向b 来确定那么向量c叫做向量a与b的向量积记作ab即c ab向量积的性质(1) aa0 ;(2) 对于两个非零向量a、b如果ab0则a//b;反之如果a//b则ab0如果认为零向量与任何向量都平行则a//b ab0数量积的运算律(1) 交换律ab ba;(2) 分配律(ab)c ac bc(3) (a)b a(b)(ab) (为数)数量积的坐标表示设a(ax ay az) b(bx by bz)ab( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k为了邦助记忆利用三阶行列式符号上式可写成aybz i+azbx j+axby k aybx k axbz j azby i( ay bz az by) i ( az bx ax bz) j ( ax by ay bx) k③三向量的混合积混合积：先作两向量a和b的向量积,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作[abc][abc]= =混合积的几何意义：混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a、b、c组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c组成左手系，那么混合积的符号是负的。

三个向量a、b、c共面的充分必要条件事他们的混合积[abc]=0即=03、曲面及其方程①曲面方程的概念如果曲面S与三元方程F(x y z)0有下述关系:(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x y z)0(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x y z)0那么方程F(x y z)0就叫做曲面S的方程而曲面S就叫做方程F(x y z)0的图形例如：方程 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2 表示球心在点M0(x0 y0 z0)、半径为R的球面②旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在yO z坐标面上有一已知曲线C它的方程为f (y z) 0把这曲线绕z轴旋转一周就得到一个以z轴为轴的旋转曲面它的方程为这就是所求旋转曲面的方程在曲线C的方程f(y z)0中将y改成便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程同理曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为③柱面柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面定曲线C 叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线例如方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于z轴它的准线是xOy面上的圆x2y2R2一般地只含x、y而缺z的方程F(x y)0 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面其准线是xOy面上的曲线C:F(x y)0类似地只含x、z而缺y的方程G(x z)0和只含y、z而缺x的方程H(y z)0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面④二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面(1)椭圆锥面由方程所表示的曲面称为椭圆锥面(2)椭球面由方程所表示的曲面称为椭球面(3)单叶双曲面由方程所表示的曲面称为单叶双曲面(4)双叶双曲面由方程所表示的曲面称为双叶双曲面(5)椭圆抛物面由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面(6)双曲抛物面由方程所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面方程依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面4 空间曲线及其方程①空间曲线的一般方程设F(x y z)0和G(x y z)0是两个曲面方程它们的交线为C所以C应满足方程组上述方程组叫做空间曲线C的一般方程②空间曲线的参数方程空间曲线C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数: (2)当给定tt1时就得到C上的一个点(x1 y1 z1) 随着t的变动便得曲线C上的全部点方程组(2)叫做空间曲线的参数方程③空间曲线在坐标面上的投影以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)设空间曲线C的一般方程为设方程组消去变量z后所得的方程H(x y)0 ,这就是曲线C关于xOy面的投影柱面曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为:5 平面及其方程①平面的点法式方程法线向量如果一非零向量垂直于一平面这向量就叫做该平面的法线向量已知平面上的一点M0(x0 y0 z0)及它的一个法线向量n (A B C)，平面的点法式方程为：A(xx0)B(yy0)C(z z0)0②平面的一般方程平面的一般方程为：AxByCzD0，其中x y z的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标即 n(A B C)特殊位置的平面方程：D0, 平面过原点.n(0, B, C), 法线向量垂直于x轴平面平行于x轴.n(A, 0, C) 法线向量垂直于y轴平面平行于y轴.n(A, B, 0) 法线向量垂直于z轴平面平行于z轴.n(0, 0, C) 法线向量垂直于x轴和y轴平面平行于xOy平面.n(A, 0, 0) 法线向量垂直于y轴和z轴平面平行于yOz平面.n(0, B, 0) 法线向量垂直于x轴和z轴平面平行于zOx平面.求这平面的方程③平面的截距式方程为：(其中a0 b0 c0)该平面与x、y、z轴的交点依次为P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c)三点而a、b、c依次叫做平面在x、y、z 轴上的截距④平面的三点式方程为：=0其中M()，N()P()是平面上的三点。