《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。
一、计算题11. 设三阶行列式为231021101--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D3. 求解下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解？二、计算题26. 计算6142302151032121----=D 的值。
7. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
8. 计算0111101111011110=D 的值。
9. 计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。
10. 计算4124120210520117的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X 。
2114332X 311113---⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭12. A 为任一方阵，证明T A A +，T AA 均为对称阵。
13. 设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=103110021B 求AB ．14. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011220111A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121111B16. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2100430000350023A求1-A17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=311121111A 的逆。
18. 设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
19. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A的逆。
20. 求矩阵121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆。
三、计算题3 21. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1401131********12211A求矩阵A 的秩R (A )。
22. 求向量组4321,αααα,,的秩。
其中，)1,0,1(1-=α，)1,3,2(2-=α，)1,1,2(3-=α，)4,2,3(4-=α。
23. 设向量组1β，2β，3β可由向量组1α，2α，3α线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧++-=-+=+-=321332123211αααβαααβαααβ试将向量1α，2α，3α 由 1β，2β，3β线性表示。
24. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？a 1=(a , 1, 1)T, a 2=(1, a , -1)T, a 3=(1, -1, a)T.25. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:a 1=(1, 2, -1, 4)T, a 2=(9, 100, 10, 4)T, a 3=(-2, -4, 2, -8)T。
四、计算题4 26. 求线性方和组的解⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+-22133232321321x x x x x x x x27. 求解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=++-+=++-+432636242232543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x28. 当a 、b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++2334562203235432154325432154321x x x x x b x x x x x x x x x ax x x x x 有解，当其有解时，求出其全部解。
29. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-+=+-+0750532025242143214321x x x x x x x x x x x30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:1212341234522153223x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩31. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．32212221321442),,(x x x x x x x x x f --+= 32. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211110101A求A 的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P 。
33. 求一个正交变换将二次型f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3化成标准形。
34. 求一个正交变换将二次型f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4化成标准形。
35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵220212020-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角阵。
五、计算题5 （略）……答案一、计算题1 1. 解： 1120432M == 111111(1)4A M +=-=，（3分） 121212M ==- 121212(1)2A M +=-=-，（6分） 1312513M ==- 131313(1)5A M +=-=，（8分） 2. 解： 对照范德蒙行列式，此处a 1=4，a 2=3，a 3=7，a 4=-5 （3分）所以有441()i j i j D a a ≥>≥=∏- （5分）213141324243()()()()()()a a a a a a a a a a a a =------ (34)(74)(54)(73)(53)(57)=--------- =10368 （8分）3. 解：写出系数行列式D211112122221111n n n nn n a a a a a a D a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （3分）D 为n 阶范德蒙行列式，据题设()i j a a i j ≠≠ 1()0i j i j nD a a ≤<≤=∏-≠ （5分）由克莱姆法则知方程组有唯一解。
易知 12,0,...,0n D D D D ===121,0n x x x ∴==⋅⋅⋅== （8分）4. 解 系数行列式为1111121D λμμμλμ==-. （4分） 令D =0, 得μ=0或λ=1. （6分）于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解. （8分）5. 解 系数行列式为12413423121111111D λλλλλλλ----+=-=---（4分） =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3+λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. （6分） 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解. （8分）二、计算题2 6. 解：（4分）（8分）（10分）7.解（2分）（4分）（6分）（8分）=-60（10分）8.解：（5分）（10分）9. 解：对于行列式，使用性质进行计算。
有 199119921993199419951996199719981999（第3列减第2列）（3分）119981997119951994119921991=（第2列减第1列）（6分） 111997111994111991=（由于2，3列对应相等）（8分） =0（10分）10. 解4124120210520011723434121012021032147010c c c c ---======--434110122(1)10314+--=⨯--（5分） 411012210314-=-23113299100020171714c c c c +======-=+.（10分）11. 解 将上述等式看成2A X B -= （2分）由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得 2A B X -= ∴1()2X A B =-（4分） =2114331[]3111132---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭（6分）=62214042-⎛⎫⎪-⎝⎭（8分）=311202-⎛⎫⎪-⎝⎭（10分）12.证：对称阵：（20分）（4分）∴ 是对称阵. （6分）（8分）∴ 是对称阵（10分）13.解 AB（2分）（6分）（8分）（10分）14.解（3分）∴（6分）而（10分）15.解（1分）（3分）（5分）（7分）（9分）∴ X=A -1B（10分）16. 解：132153A -==-（2分）234212A == （4分）113232153531A ---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（6分）12122411313222A --⎛⎫-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（8分）于是11112320053000012130022A A A ----⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭（10分）17. 解：（3分）（7分）∴ （10分）18. 证： 因为A 可逆，所以|A|≠0，（1分）且11*A A A-= 于是有 A *=|A|A -1 （3分）对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得|A *|=||A|A -1| =|A|n |A -1| （5分）又因|A -1|≠0 （∵A 可逆，由定义知A -1可逆）∴|A *|≠0所以A *是可逆的． （6分）因为（8分） 可知（10分）19. 解：令125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2分）于是1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 则111111220000A A A A A ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4分） 用伴随矩阵极易写出1112,A A --111225A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭（6分）1212121331111333A -⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭ （8分）（10分）20. 解 121342541A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. |A |=2≠0, 故A -1存在. （2分）因为112131122232132333420*136132142A A A A A A A A A A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, （6分） 所以 11*||A A A -=2101313221671-⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭. （10分）三、计算题321. 解：对A 作初等行变换，将它化为阶梯形，有（2分）（4分）（6分）（8分）最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3 （12分）22.解：把排成的矩阵A（2分）（8分）这是一个"下三角形"矩阵（12分）23.解：由上视为的线性方程组，解出来。