经济数学线性代数学习讲义
合川电大兰冬生
1, 矩阵:
A =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-012411210, 称为矩阵。

认识矩阵第一步: 行与列, 横为行, 竖为列,
第一行依次0,1,2, 第二行1,1,4 第一列0,1,2
这是一个三行三列矩阵, 再给出一个三行四列矩阵
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。

⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
2222111211, 这个矩阵记作n m A ⨯, 表明这个矩阵有m
行, n
列, 注意行m 写在前面,列n 写在后面, 括号里面的称为元素, 记为ij a , i 是行, j 是列, 例如:
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----12614231213252是三行四列矩阵, 也说成43⨯矩阵, 注意行3在
前面, 列4在后面, 这里211=a ( 就是指的第一行第一列那个数) 123-=a ( 就是指的第二行第三列那个数) 2, 矩阵加法
矩阵加法, 满足行列相同的矩阵才能相加, 对应位置的数相加。

例如: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101010
+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢
⎢⎣⎡-021512220 减法是对应位置的数相减。

, 3, 矩阵的乘法
矩阵乘法参看以下法则: 注意字母对应
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡3332
31
232221131211
a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡3332
312322211312
11b b b b b b
b b b ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=33332332133132
332232123131
332132113133232322132132232222122131232122112133132312131132132212121131
1321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明:
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡3332
31
232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3332
312322211312
11b b b b b b
b b b =⎥⎥
⎦
⎢⎢⎢⎣⎡3332
31
232221
1211
c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b , 注意是对应元素相乘, 再求和。

乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。

依次类推, 结果元素ij c 等于第i 行乘以第j 列,
举例
矩阵 AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--1412 第一行乘以第一列, )2(4)2(1061-=⨯-+⨯+⨯ 第一行乘以第二列, 11)2(2031=⨯-+⨯+⨯ 第二行乘以第一列, 4401)2(61=⨯+⨯-+⨯ 第二行乘以第二列, 1102)2(31-=⨯+⨯-+⨯
能够乘的条件: 第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须相同, 就是尾首必须相同, v w n m B A ⨯⨯能够乘必须是A 矩阵脚标的尾n 等于B 矩阵脚标的首w 相等, w n = 例如: 3332⨯⨯B A 可乘3432⨯⨯B A 不可乘,
只要尾首相同就可乘, v w n m B A ⨯⨯乘积为v m ⨯矩阵 例如: 3332⨯⨯B A 可乘, 乘积结果为32⨯C 矩阵
2334⨯⨯B A 可乘, 乘积结果为24⨯C 矩阵
矩阵的数乘, 一个数乘以一个矩阵, 等于这个矩阵的每个元素乘以这个数
例: A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201, 3A =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--063603.
矩阵的乘法能够看出, 矩阵的乘法不可交换, 一般情况下BA
AB≠4, 矩阵的转置
矩阵A转置矩阵记为T A,
转置就是把矩阵的行列元素对调, 也能够看成沿主对角线翻转! A
A则
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
T
A
从这里看出, 下面一个矩阵A是2×3矩阵( 2行3列) 则A T是3×2矩阵( 3行2列) ,
1月考题:
设A为3×4矩阵, B为5×2矩阵, 且乘积矩阵AC T B T有意义, 则C为( B ) 矩阵。

A. 4×2
B. 2×4
C. 3×5
D. 5×3
分析: 根据尾首相同法AC T B T可表示为( 3×4) ( ) ( 2×5) , 中间一个就是4×2, 注意是C T, 因此C就是2×4。

对称矩阵:
对称矩阵的元素依主对角线对称:
1．设
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
=
1
3
2
3
2
1
a
A, 当a=0时, A是对称矩阵．
5, 求矩阵的逆
预备知识: ( 1) , 在数的学习中, 数的单位是1, 13
1
3=⨯,
矩阵的单位是⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=100010001 I ,除主对角是1以外, 其余全是0, 而且, 单位矩阵全是方阵( 行数与列数相等) 任何矩阵乘以单位阵不变AI =A , ( 能够试一试) 例, 3
阶单位阵, I =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡100010001, 我们以3阶阵来说逆,
已知
A =⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210 与前面13
13=⨯类似, 能不能找到一个矩阵, 使得A 乘以这个矩阵等于单位阵?
记为I AA =-1,1-A 称为A 的逆, ( 2) 矩阵的初等变换,
①将矩阵的任意两行互换,
②把某一行乘以一个数( 指对这一行的每个元素都乘以这个数) ,
③把某一行乘以一个数, 然后加到另外一行。

求逆
求逆原理: ][][1-→A I I A ,。