《线性代数(经济数学2）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有习题【说明】：本课程《线性代数(经济数学2）》（编号为01007）共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。
一、计算题11. 设三阶行列式为231021101--=D 求余子式M 11，M 12，M 13及代数余子式A 11，A 12，A 13．2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 3. 求解下列线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---1111322112132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠4. 问 取何值时 齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解5. 问取何值时 齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解二、计算题26. 计算6142302151032121----=D 的值。
7. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。
8. 计算0111101111011110=D 的值。
9. 计算行列式199119921993199419951996199719981999的值。
10. 计算41241202105200117的值。
11. 求满足下列等式的矩阵X 。
2114332X 311113---⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭12. A 为任一方阵，证明T A A +，T AA 均为对称阵。
13. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212321A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=103110021B 求AB ．14. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121311A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212211033211B 求T )(AB 和T T A B15. 用初等变换法解矩阵方程 AX =B 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011220111A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121111B16. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A 求1-A17. 求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆。
18. 设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。
19. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1100210000120025A的逆。
20. 求矩阵121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆。
三、计算题321. 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=14011313021512012211A 求矩阵A 的秩R (A )。
22. 求向量组4321,αααα,,的秩。
其中，)1,0,1(1-=α，)1,3,2(2-=α，)1,1,2(3-=α，)4,2,3(4-=α。
23. 设向量组1β，2β，3β可由向量组1α，2α，3α线性表示。
⎪⎩⎪⎨⎧++-=-+=+-=321332123211αααβαααβαααβ试将向量1α，2α，3α 由 1β，2β，3β线性表示。
24. 问a 取什么值时下列向量组线性相关a 1(a 1 1)T a 2(1 a 1)T a 3(1 1 a)T 25. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组a 1(1 2 1 4)T a 2(9 100 10 4)T a 3(2 4 2 8)T 。
四、计算题426. 求线性方和组的解⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+-22133232321321x x xx x x x x27. 求解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+--=++-+=++-+432636242232543215432154321x x x x x x x xx x x x x x x28. 当a 、b 为何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++2334562203235432154325432154321x x x x x bx x x x x x x x x ax x x x x有解，当其有解时，求出其全部解。
29. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-+=+-+0750532025242143214321x x x x x x x x x x x30. 求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系1212341234522153223x x x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩31. 试用正交变换法将下列二次型化为标准形，并求出变换阵．32212221321442),,(x x x x x x x x x f --+=32. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211110101A求A 的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P 。
33. 求一个正交变换将二次型f 2x 123x 223x 334x 2x 3化成标准形。
34. 求一个正交变换将二次型f x 12x 22x 32x 422x 1x 22x 1x 42x 2x 32x 3x 4化成标准形。
35. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将对称阵220212020-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭化为对角阵。
五、计算题5（略）……答案一、计算题11. 解： 1120432M == 111111(1)4A M +=-=，（3分） 1210212M ==- 121212(1)2A M +=-=-，（6分） 1312513M ==- 131313(1)5A M +=-=，（8分） 2. 解： 对照范德蒙行列式，此处a 1=4，a 2=3，a 3=7，a 4=-5 （3分）所以有441()i j i j D a a ≥>≥=∏- （5分） 213141324243()()()()()()a a a a a a a a a a a a =------(34)(74)(54)(73)(53)(57)=---------=10368 （8分）3. 解：写出系数行列式D211112122221111n n n n n n a a a a a a D a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ （3分） D 为n 阶范德蒙行列式，据题设()i j a a i j ≠≠1()0i j i j n D a a ≤<≤=∏-≠ （5分）由克莱姆法则知方程组有唯一解。
易知12,0,...,0n D D D D ===121,0n x x x ∴==⋅⋅⋅== （8分）4. 解 系数行列式为1111121D λμμμλμ==- （4分）令D 0 得0或1 （6分）于是 当0或1时该齐次线性方程组有非零解 （8分）5. 解 系数行列式为124134231211111101D λλλλλλλ----+=-=---（4分）(1)3(3)4(1)2(1)(3+)(1)32(1)23 （6分）令D 0 得0 2或3于是 当0 2或3时 该齐次线性方程组有非零解（8分）二、计算题26. 解：（4分）（8分）（10分）7.解（2分）（4分）（6分）（8分）=-60（10分）8.解：（5分）（10分）9.解：对于行列式，使用性质进行计算。
有199119921993199419951996199719981999（第3列减第2列）（3分）119981997119951994119921991（第2列减第1列）（6分）111997111994111991=（由于2，3列对应相等）（8分） =0（10分）10. 解 4124120210520011723434121012021032147010c c c c ---======--434110122(1)10314+--=⨯--（5分） 411012210314-=-23113299100020171714c c c c +======-=+（10分）11. 解 将上述等式看成2A X B -= （2分）由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得 2A B X -= ∴1()2X A B =-（4分） =2114331[]3111132---⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭（6分）=62214042-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （8分） =311202-⎛⎫⎪-⎝⎭（10分）12.证：对称阵：（20分）（4分）∴是对称阵. （6分）（8分）∴是对称阵（10分）13.解AB（2分）（6分）（8分）（10分）14.解（3分）∴（6分）而（10分）15.解（1分）（3分）（5分）（7分）（9分）∴ X=A-1B（10分）16. 解：132153A -==-（2分）234212A == （4分）113232153531A---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（6分） 12122411313222A --⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（8分） 于是11112320053000012130022A A A ----⎛⎫ ⎪- ⎪⎛⎫== ⎪-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎪⎝⎭（10分） 17. 解：（3分）（7分）∴（10分）18.证：因为A可逆，所以|A|≠0，（1分）且11*A AA-=于是有A*=|A|A-1（3分）对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质（2）（注意|A|是一个数）得|A*|=||A|A-1| =|A|n|A-1| （5分）又因|A-1|≠0 （∵A可逆，由定义知A-1可逆）∴|A*|≠0所以A*是可逆的．（6分）因为（8分）可知（10分）19. 解：令125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（2分）于是1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则11111122000A A A A A ----⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（4分） 用伴随矩阵极易写出1112,A A --111225A--⎛⎫= ⎪-⎝⎭（6分） 1212121331111333A -⎛⎫⎪⎛⎫==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭（8分） （10分）20. 解 121342541A -⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭ |A |20 故A1存在 （2分）因为112131122232132333420*136132142A A A A A A A A A A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（6分）所以 11*||A A A -=2101313221671-⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪⎪--⎝⎭（10分）三、计算题321.解：对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有（2分）（4分）（6分）（8分）最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3 （12分）22.解：把排成的矩阵A（2分）（8分）这是一个"下三角形"矩阵（12分）23.解：由上视为的线性方程组，解出来。