试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。
解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以
'223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=⨯=为基本向量
建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为
''
2222
''2222'/B A x x z A B A B A B
y D B x z A B A B z y ⎧=+⎪++⎪
⎪=--
+⎨++⎪
⎪=⎪⎩
在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2''''
22
22
2
2
2
2
6(
)(/)1
B A A
B
y x z D B x z A B A B A B A B ++
--
+
=+++
+
所以交线的方程为：
'2'
'''22
22
22
22
'6()(/)1
B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ⎧++--+
=⎪++++⎨
⎪=⎩
化简得：
'2'
'22
22
'6()(/)1
0B A y x D B x A B A B z ⎧+--=⎪++⎨
⎪=⎩
因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得
322A
B
=-.
试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ⎩
⎨
⎧=+=+++⎩⎨
⎧=+=++020
13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。
解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1
11
2
:,1
20
1:21-+==-=+=-z y x l z y x l
设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=，
试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程.
解：设所求的直线的方程为:141x lt
y mt z nt =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩
,又因为所求的直线在二次曲
面上,所以对任意的,t 有
2222(1
)(4)(1)
3(1)(
4)(1)(1
)6(1)
l t m t n t
l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=,
化简得;
2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以
222230
(1)7570l m n ml nl l m n ⎧+-++=⎨
++=⎩
由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得
220
(1)570
m n m n ⎧-=⎨
+=⎩
上述方程只有零解. (2): ,1=l 代入方程组(1)得
22230
(1)7570m n m n m n ⎧+-++=⎨++=⎩
解之得07/4
11/4
m m n n ==-⎧⎧⎨
⎨
=-=⎩⎩或者 所以所求的直线为
11447/411/4x t x t y y t z t z t =+=+⎧⎧⎪⎪
=-=--⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩
或者
试题4：求过点)1,0,1(P 平行于y 轴并与曲面182=+xz y 的交线都是圆的所有平面的方程.
解：答案：0)1)(154(1=-++z x
试题5：求和下面三条直线都是相交的直线所构成的曲面。
52
4132:,1:,1:321+=
+=--⎩
⎨⎧-=-=⎩⎨
⎧==z y x L y z x L y z x L 答案：1222=-+z y x
试题6：确定实数m 的值，使平面0=-+mz y x 和单叶双曲面
1222=-+z y x 相交，交线分别是椭圆和双曲线.
解:令'3e 为所给的平面的单位法向量，即),1,1(212
'3m m
e -+=
,取
)2,.()
2(21),0,1,1(212'1'3'2'1---+=⨯=-=
m m m e e e e . 由于原点在所给的平面上，以'3'2'1,,e e e 为新的基本向量建立新的直角坐标系],,,['
3'2
'1e e e O ,那么新就坐标系之间的坐标变换公式为:
'''22'''22''2211
22(2)2
1,22(2)222(2)2m x x y z m m m m y x y z m m m z y z m m ⎧=-+⎪⎪++⎪
⎪
=--
+⎨++⎪
⎪⎪=--⎪++⎩
那么在新的坐标系中，所给的平面方程为:0'=z , 所给的单叶双曲面的和平面的交线的方程为：
1
222=-+z y x ''2''2'2
222
'112()()()1222(2)2(2)2(2)0m m x y x y y m m m z ⎧-+----=⎪+++⎨
⎪=⎩
化简得到：
2'2'2
2'21
20m x y m z ⎧-+=⎪+⎨
⎪=⎩
所以，当2m >时，交线是椭圆，当2m <时是双曲线，当2m =时是一对平行直线。