a2 1 a2 m c . F 是左焦点，且 m≤ c ，|n|≤b 时，|MP|- e |MF|的最小值是

1 简证 1、如图 1，作 MN⊥右准线 l 于 N，PQ⊥l 于 Q，由椭圆定义，|MN|= e |MF|. a2 1 m m ，当且仅当 P、M、Q 三点共线，且 M ∴ e |MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|= c a2 1 m 在 P、 Q 之间时取等号.如图 2， 同理可证 e |MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|= c ，
解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现 ， 亦即
2e MN
，
e( AC BD )
最小时，
F1 A F1 B
也最小， 并能知道 AB F1 F2 时
MN
最小 （这点请读者自己证明） .本题虽然也有其他解法， 但都不如此法简单，
双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用. 拓展 将本题中的双曲线一般化，便得 定理
2 2 已知双曲线 x y k 关于直线 x-y=1 对称的曲线与直线 x+2y=1 相切，
k ）
的
值
等
于
2 A、 3
4 B、 3
5 C、 4
4 D5
（第十五届高二培训题第 19 题） 解
2 2 设点 P（x0,y0）是双曲线 x y k 上任意一点，点 P 关于直线 x-y=1 的
准线的双曲线.
2 2 （ 3 ） 当 A B 1 且 Aa Bb c 0 时 ， 方 程 表 示 过 点 a, b 且 与 直 线
Ax By C 0 垂直的直线.
2 2 （ 4 ） 当 A B 1 且 Aa Bb c 0 时 ， 方 程 表 示 a, b 为 焦 点 ， 直 线
x2 y2 2 1(a b 0) 2 b 定理 M 是椭圆 E： a 上的动点，F 是椭圆 E 的一个焦点， c 为
椭圆 E 的半焦距，P（m,n）为定点.
a2 1 m 若点 P 在椭圆 E 内，则当 F 是右焦点时， e |MF|+|MP|的最小值是 c ；当 F
是左焦
a2 1 m 点时， e |MF|+|MP|的最小值是 c .
2 2
A, B 在双曲线右支上， AF1 AF2 2 3 , BF1 BF2 2 3
,故当
AF2 BF2
取得最小值时，
AF1 BF1
也取最小值.设 l
是双曲线对应于 F2 的准线， AC l , BD l ,垂足为 C , D ，则由双曲线定义可知
AF2 e AC , BF2 e BD
1 a2 m c ，当且仅当 P 位于直 如图 4，|MP|- e |MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=
线 MN 上，即点 P 与 Q 重合时取等号.
y M M R P O F m N Q x l O F l M m y M N Q P mx
图3
图4
a2 1 m 如图 5， e |MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|= c ，当且仅当 P
过 点 P 作 PQ⊥MD 于 Q ， 由 椭 圆 的 定 义 知 ， 3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点 P 位于线段 MD 上， 即点 P 与 Q 点重合时取等号.由点 P 位于线段 MD 上， MD⊥ l 及点 P （6， 2） ，
对称点为
y y0 x x0 y y 0 1 1 x x 0 2 2 P’（x,y）,则 ①，又 ②，解①、②联立方程组得
x0 y 1 2 2 2 2 y0 x 1 ③.∵P 点在双曲线 x y k 上，∴ x0 y 0 k ④.③代入④，得
，而
AC BD 2 MN
，其中 MN 是梯形 ACDB 的中位
线，当 AB F1 F2 时， MN 取最小值
2
3 1 2 2 ，这时， AF2 BF2 取得最小值 2 3 14 3 3 .
AF2 F1 BF1
4 3
取最小值
评析 即
Ax By C 0 为准线的抛物线.
2 2
x a y b | Ax By C | （ A、B、C、a、b 为常数，且 A、B 定理 若 不全为零） ，则
2 2 （1）当 0 A B 1 时，方程表示 a, b 为一个焦点，直线 Ax By C 0 为相
应准线的椭圆.
2 2 （2）当 A B 1 时，方程表示 a, b 为一个焦点，直线 Ax By C 0 为相应
y M P O m F M N N Q x F l l 图1 m O x Q M M P
当且仅当 P、M、Q 三点共线，且
y
M 在 P、Q 之间时取等号.
图2
a2 1 m 如图 3， e |MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|= c ，当且仅当 P
位于线段 MN 上，即 P 与 R 重合时取等号.
高中数学解析几何问题研究
题 1. x2 y2 1 8 Let point M move along the ellipse 9 ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标) （第十四届高二第二试第 18 题） x2 y2 1 8 译文：点 M 是椭圆 9 上一点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P（6，2） ，那 么 3|MF|-|MP|的最大值是 x2 y2 1 8 解 在椭圆 9 中，
M
，此时点 M 的坐标是
y M
.
Q P
D G 9 l x
a 9, b 8 ， 则 c 1, c 1 ，
2 2 2
所以椭圆的右焦点 F 的坐标
F -3 O 1 3 6
c 1 e a 3， 为（1，0） ，离心率 a2 l:x 9 c 右准线 ，显然点
x2 y2 1 8 的外部.过点 P、M 分别作 PG⊥ l 于 G，MD⊥ l 于 D， P（6，2）在椭圆 9
若点 P 在椭圆 E 外，则
a2 a2 1 m F 是右焦点，且 0≤m≤ c ，|n|≤b 时， e |MF|-|MP|的最大值是 c . a2 1 a2 m c . F 是右焦点，且 m> c ，|n|≤b 时，|MP|- e |MF|的最小值是 a2 a2 1 m F 是左焦点，且 c ≤m≤0，|n|≤b 时， e |MF|-|MP|的最大值是 c .
位于线段 MN 上，即 P 与 R 重合时取等号.
1 a2 m c ，当且仅当 P 位于 如图 6，|MP|- e |MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=
y N Q R P m l 图5 F O x M M Q P m l 图6 F O x N M y M
直线 MN 上，即点 P 与 Q 重合时取等号. 题2 则 （
x2 y2 F1 、 F2 是双曲线 a 2 b 2 1 的左、右焦点， A, B 两点在右支上，且与 F2
2b 2 4a F A F1 B a . 在同一条直线上，则 1 的最小值是
仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）.
4 3 2 12 3

用此定理可知本题中的最小值为 题 4. ( ) A、直线 23 题） 解法 1 由 方 程
解法 2 已知方程就是
2
| x y 3| 2
，由双曲线的第二定
义， 可知动点 P x, y 到定点 （2， 2） 的距离与到定直线 x y 3 0 的距离比为 2 ， 因为 2 1 ，所以选 C. 评析 根据选择支， 可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方 程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项 xy .如 何消去乘积项便成了问题的关键.解法 1 表明对称换元是消去乘积项的有效方 法. 解法 2 从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式， 发现方程表 示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线 x y 3 0 的距离之比为 2 的动 点 x, y 的轨迹，根据双曲线定义选 C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的
( y 1) 2 ( x 1) 2 k ⑤，此即对称曲线的方程，由 x+2y=1，得 x=1-2y`,代入⑤ 4 并整理，得 3 y 2 y k 1 0 .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得 k= 3 ，故选
2
B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由 △=0 便可求得 k 的值. 拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的 结论 1、点（x0,y0）关于 x 轴的对称点是（x0,-y0）. 2、点（x0,y0）关于 y 轴的对称点是（-x0, y0）. 3、点（x0,y0）关于 y=x 的对称点是（y0,x0）. 4、点（x0,y0）关于 y=-x 的对称点是（-y0,-x0）. 5、点（x0,y0）关于 y=x+m 的对称点是（y0-m,x0+m）. 6、点（x0,y0）关于 y=-x+n 的对称点是（n-y0,n-x0）. 7、点（x0,y0）关于直线 Ax+By+C=0 的对称点是（x,y） ，x,y 是方程组