学习重点
➢掌握实际流体能量方程、动量方程； ➢掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用
三大运动方程解决实际问题；
➢了解N—S 方程。
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学习内容
伯努利方程 (能量方程)
动量方程
实际流体运 动微分方程
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§5—1 实际流体运动微分方程
一、以应力表示的实际流体运动微分方程
式 5—5
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三、N—S 方程
将以上关系式5—3、5—5代入实际流体运动微分方程 5—1，结合不可压缩、均质流体连续性微分方程整理即可
得N—S方程（p166 5—6式）。
此 N—S方程 + 连续性微分方程
共 4 个方程，解 4 个未知量。
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四、实际流体运动微分方程积分
1、积分条件：
( uz
y
u y z
)
zx
xz
( uz
x
ux z
)
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实际流体切 应力普遍表达 式，也称广义 的牛顿内摩擦
定律。
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2、压应力的特性和大小： px= p+ px’ p y= p+ py’ pz= p+ pz’
p ——平均压应力
p=
1 3
（px+py+pz
）
切应力互等定律。原 方程减少3个变量。
4>列动量方程求解。
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几点说明：
1>方程是矢量式，正确取好外力和速度的正负号；
2> 建立坐标系应尽量使问题简化；
3> 计算断面为渐变流断面（中间可为急变流）；
4> 动量差 = 流出控制体的动量 － 流入控制体的动量， 切不可颠倒；
5> 求压力的压强 p 一律采用相对压强；
6> 一般要与连续性方程、能量方程联用。
通常是已知的, 故在三个方程中有九个表面应力、 三个速度分量，共十二个未知量，既使加上连续 性微分方程（四个方程，解十二个未知量），也 无法求得唯一的解，所以还应再找出其它的关系。
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二、流体质点的应力状态
1、切应力的特性：
yx
xy
( uy
x
ux y
)
式5—3
yz
zy
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三、方程的延伸应用
1、有汇流或分流时： 可分别列方程，如：
1—1与2—2 断面 1—1与3—3 断面
2 2
1 3
1
3
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2、有能量输入或输出时： 可列方程：
假如：
Hm——输入或输出
能量
z1
p1
1v12
2g
Hm
z2
p2
2v22
2g
hw
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2、积分式： 不可压缩、均质、恒定、实际流体伯诺里方程。
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hw
5—13式
同一条流 线上的任意两点，
满足上式。
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§5—2 实际流体元流伯诺里方程
一、方程 1、推导依据： 动能定理。 2、推导过程： 同理想流体元流。 3．方程形式：
不可压缩、 均质、恒定 、实际流体 元流伯诺里
（2）h’ w
单位重量元流的水头损失
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3、水头线的绘制：
（1）水力坡度 J：
J dhw dH
dl
dl
注： 流体的总机械能（总水头）总是沿程
d(z p)
（2）测压管下坡降度；Jp流：体的各J种p能量可以dl相 互转
dH dl
p
换。 （3）水头线的绘制：
以后详细讲
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§5—4 不可压缩气体伯努利方程
1、方程中的压强为相对压强时：
p1

v12
2
g(a
)( z2
z1)
p2
v22
2
pw12
2、方程中的压强为绝对压强时：
p1
v12
2
z1
p2
v22
2
z2
pw1~ 2
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其中：
v2 ——动压。单位体积气体所具有的动能。
2
全压
p ——静压。单位体积气体所具有的压能
1、应用条件： （1）流体的流动为恒定流； （2）流体不可压缩； （3）流体所受质量力只有重力； （4）流体运动是连续的。
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2、使用方法：
（1）选择基准面：
原则上可任选，一般可尽量使 位置水头为零（即：Z=0）。
（2）选择计算断面：
1> 渐变流过流断面； 2> 已知数较多的断面； 3> 包含未知数的断面。
（1） 作用于流体上的力是有势的力：
fx w x
fy w y
fz w z
（2） 流体的流动为恒定流：
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ux uy uz 0 t t t
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（3） 沿流线积分(即沿迹线积分)：
dx uxdt dy uydt dz uzdt
（4） 作用于流体上的力只有重力。
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Q(2v2x 1v1x ) Fx
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Q( 2v2 y 1v1y ) Fy
Q(2v2z 1v1z ) Fz 34
二、方程的应用条件及使用方法
1、应用条件： 可参照能量方程。
2、解题方法：
1>选取控制体 ；
2>建立坐标系，分析控制体上的受力 （包括表面力和重力）；
3>规定好力与流速的方向；
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例：水流水平冲击一光
滑平板，水流的重
1
量忽略，求 R。
θ
列方程如下：
1
R
1、动量方程：
x方向： －R=(0+0)－ρQ1β1 v1sinθ
y方向： 0 = (ρQ2 β2 v2 －ρQ3β3 v3 ) － ρQ1 β1 v1cosθ
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2、连续性方程： Q1= Q2 + Q3
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（3）选择计算点： 1> 对圆形管路，可选择在轴心处；
2> 对明渠，可选择在液面上。
（4）公式中的压强 p：
简言之，分析流动，划分断面， 可以是绝对压强，也可以是相对压强，只要 方程前后统选一择即基可准（面对，气写体出必方须程是。绝对压强）。
3、公式中的γ是指计算流体的重度，各项单位要统一。
3、能量方程：
可分别对
1—1 与2—2、
1—1 与3—3断面列
1
方程，从而可得到：
v1= v2＝ v3
1
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θ R
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作业 P193～200习题
5-1 ～ 5-37
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That’s all ! Good Luck!
因为实际流体运动存在切应力，故各方位的压应力不
尽相等，可取其平均值，每个方向上的压应力均可看
作由均值 2020/6/17
p
加上附加压应力
px’ 、
py’ 、 1p2z’
。
px
2
ux x
2 xx
px
p
2
ux x
py
2
u y y
2 yy
py
p
2
u y y
pz
2
uz z
2zz
pz
p
2
uz z
式 5— 2020/6/174
M
t
C
τzx
B
y x
7
切应力（四个表面） ：
ABGH:
(
xy
1 2
xy
x
dx)dydz
将以上所有的力代入
CDEF:
Fy (mxyay12mdduxtxyy dx)dydz
GD整EH理: 即可得实(际zy流体12 运动zzy 微dz分)d方yd程x 。
ABCF:
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( zy
1 2
zy
Z
F
τzy
τzx
与 x 轴垂直的平面 上，沿 y 方向。
A y
t C
B
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x
6
（1）质量力：
fyρdx dy dz
（2）表面力： 压力 ：
(
ps
pt
)dxdz
p y
dxdydz
切应力（四个表面） ：
ABGH CDEF ABCF GDEH
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E
H τzx
τzy
D
G
s F
Z A τzy
1、方程推导依据：
牛顿第二定律： 2、分析受力：
F=ma
因为是实际流体，故运动流体的表面力既有
压应力（动压强）也有切应力。
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5
以 y 方向
为例：
设M点的相应要素为： py , u y , τzy , τxy
τzy
与 Z 轴垂直的平面 上，沿 y 方向。
E
τzx
H
D
τzy
G
M s
τxy
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§5—3 实际流体总流伯努利方程
一、实际总流能量方程的建立 1、推导依据： （1）元流的能量方程；
（2）连续性方程 dQ=u1dA1= u2dA2