射流对壁面的作用力为
v
当
90
时， R Qv；
F=-R
v
Q/2
当 180 时，R 2 Qv；
v
例4－6图(b) 曲面所受冲击力最大，如例4－6图（b）所示。
例4－7 流量为Q0 的水平射流，冲击铅直放置并与之成θ角的 光滑平面壁，冲击后液流分散，设液流的密度为ρ。求：（1） 流量Q1 与 Q2 之分配；（2）若测得来流的直径为 d0，射流对平 面壁的冲力F是多少？
Qห้องสมุดไป่ตู้
v Q/2 v
θ F=-R θ x
- R - Qv(cos 1) 所以,射流对壁面的作用力为
例4－6图（a）
F R - Qv(1 cos )
F R Qv(1 cos ) 射流冲击力的分析是冲击式水轮机 Q/2 转动的理论基础。从上式可知：
Q
（3）由于壁面的对称性，水平射 流的反作用力R平行于射流方向。
例4-6
试求图示的射流对挡板的作用力。
v Q/2
设水平射流的流量为Q，因曲面 解： 对称且正迎着射流，则两股流量可 认为相等，都为Q/2，x方向动量方 程为
Q Q - R v cos(180 ) v(180 ) Qv 2 2
或
R Q(v2 v1 ) p1 A1n 1 p2 A2n2 Fb
（4）
考虑到 v1
v1n1及v2 v 2 n2 ，上式可写成
R 1Q1v1n1 2Q2v2n2 p1 A1n 1 p2 A2n2 Fb ( p1 A1 1Q1v1 )n1 ( p2 A2 2Q2v2 )n2 Fb
其次，作用于控制体内流体的质量力 Fb 一般为重力。 所以式（1）中合力为
F p A n p A n
1 1 1 2
2 2
R Fb
式中n1 , n2为入口断面和出口断面的外法线单位矢量。
把上式代入（1），得
p1 A1n 1 p2 A2n2 R Fb Q(v2 v1 ) （3）
由连续性方程
Q0 Q1 Q2
联立上两式可解出
Q1 Q0 (1 cos ) / 2
Q2 Q0 (1 cos ) / 2
列y方向的动量方程式
R Qv sin θ 4Q sin θ / πd0
2
2
3. 射流的反推力
航天器利用气流反推力获得飞行动力.
z F
如火箭，左图。 取与火箭一起运动的相对坐标系，取 火箭本身的外壳表面和喷管出口截面 积为A，流体相对于发射火箭喷出的 速度为流量为，流体密度为，列飞行 方向的动量方程有
解：设射流的初始速度为v0，因为 壁面光滑，水平射流的速度只改变 方向不改变大小； 光滑壁面对射流的反力 R 垂直于壁 面，合外力在 x 方向上为 0 ，列 x 方 向的动量方程可得
Q1，v0
x
y
Q0，v0
θ o
F =-R
0 ( ρQ1v0 ρQ2v0 ) ρQ0v0 cos θ
Q2，v0 例 4－ 7图
如图示是一个稳定流动。首 先选取 11221所围成的空间为 控制体，取t时刻占据控制体 的流体为系统，经过时间 dt 间隔后，控制体不动，而系 统移动到新的位置1 1 221， 构成了图示的 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 三个 空间区域。在此过程中，系 统动量的变化值为
dM Mt dt Mt ( M M )t dt ( M M )t
Q(v2 y v1 y ) Fy Q(v2 z v1 z ) Fz
（2）
作用在控制体上的合外力如下 图示： P=∫pdA n2 T=v1 p2A2
n1
p1A1
Fb=mf
图4－16 控制体受力分析
首先，控制体外流体或固体 壁面作用在控制体上的表面 力：在控制体进出口截面上 的 p2 A2 n2 和 p1 A1n1 ； 在控制体侧表面上有压力的 合力P及粘性力的合力T，这 两个力比较复杂，在大多数 情况下是未知量，常用 R=P+T来表示作用在控制体 侧表面上的合力，即通过控 制体侧表面作用在控制体内 流体上的合力。
dM Qdt (v2 v1 ) dM Q(v2 - v1 ) dt
F Q(v
2
v1 )
（1）
这就是一元稳定流动的动量方程。
物理意义：
作用在控制体上的合力等于单位时间内流出与流入 控制体的动量差。 式（1）的分量形式为
Q(v2 x v1 x ) Fx
Fy
2．射流对固体壁面的冲击力
一股均匀射流正面冲击如右图所 示固体壁面，由于控制体内的流 程很短，水流阻力较其他外力很 微小，可忽略不计。 因此可认为：
v
Q/2 Q v Q/2
θ F=-R θ x v
图4－19
（1）控制体内液流的能量损失 hw 0
（2）水平射流与壁面在接触后， 射流只是改变方向，不改变大小；
采用动量方程的投影式
F F
x
y
Q vBx vAx
Q v By v Ay


即：
Rx pA AA pB AB cos 60 Q v B cos 60 v A
Ry pB AB sin 60 Q v B sin 60
F Q v
i
i i
（6） 注意正负号 （7）
R J i ni
稳定流动的动量方程的特点：
① 在计算过程中只涉及控制面上的运动要素，而不必考 虑控制体内部的流动状态。
② 作用力与流速都是矢量，动量也是矢量，故动量方程 是一个矢量方程。
二、动量方程的应用 应用动量方程应注意： 1.合理选用控制体，正好包含需要确定流体作用力的边 界，上下游断面选取在缓变流区域以便计算压力； 2.方程中应包含作用于控制体的一切外力，两断面上的 压力、边界上的力不要遗漏，但不包括惯性力。 3.注意正负号（Q,v），对于Q而言，流出为正，流入为 负；对于v而言，与坐标轴方向相同为正，相反为负； 4.动量方程是矢量式，应写成分量形式，对未知力可假 设其方向，如果结果为正，说明原假设的方向正确，如 果结果为负，则作用力的方向与原假设方向相反。 5.一般要联立连续性方程和伯努利方程求解。
§4-4
动量方程及其应用
在工程实际中有时要计算流体与固体相互作用的力，动量 方程提供了流体与固体相互作用的动力学规律。 一、稳定流动量方程 从物理学中的动量定律知道，单位时间内物体的动量变化 等于作用于该物体上外力的总和。
2
1 1 v1 I 1 v2 III
2 II 2 2
1
图4－15 控制体及系统
R Qv Av 2 F Qv Av 2
Q v
图4－20 火箭的推力
火箭所获推力与气流受力方向相反，即
可说明：提高速度可增大火箭推力。
C 才能求解。 1.应用动量方程时，一般要联立_______ A 伯努利方程 B 连续性方程 C A和B
2.恒定总流的连续性方程、伯努利方程、动量方程中 的流速为 A A 断面平均流速 C 断面形心出的流速 B 断面上的最大流速 D 断面上压力中心处的流速
引入冲量 J pA Qv ，且重力忽略不计，则上 式变为
R J1n1 J 2n2
（5）
强调：
① R为壁管对管内流体的作用力，根据牛顿第三定律可
知，F和R是一对作用力和反作用力，即：F=-R。 ② 式（1）和（5）仅适用于只有一个进出口的控制体。
对于有多个进出口的控制体，可依据动量方程物理意义将 其推广得到 及
1．流体作用于弯管的力 一变直径弯管，轴线位于同一水平面，转角 60o，直 径由 d A 200mm 变为 d B 150mm，在流量Q 0.1 m3 s 时， 压强 pA 18 kN m2 ，求水流对AB段弯管的作用力。不计弯 断的水头损失。
解：取控制体为弯管AB内的空间，坐标系如图所示， 设R为弯管AB对控制体内流体的作用力。
由于流动为稳定流动，所以时间的下标可去掉，则 dM M M
而 M m v1 1Q1dtv1 为流入控制体内的流体所具有的动量，
M m v2 2Q2dtv2 为流出控制体的动量，并考虑到稳定 流动的连续性方程，1Q1 2Q2 Q 则有
两端同除以dt得 由动量定理得

将 vA、 vB、pB 值代入式（1）和（2），得
Rx 0.538kN
水流对弯管的作用力
,
Ry 0.598kN
F R
F的大小
F Fx2 Fy2 0.5382 0.5982 0.804kN
F与x轴的夹角
0.598 tan 1.112 48 Fx 0.538