1.6.2微积分基本定理的应用
主编：徐其海 审核：张安永
一.学习目标
1.能理解导数于定积分的内在联系，掌握微积分基本定理，根据定积分的值解释其几何意义.
2. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式求最基本初等函数的定积分.
3. 会利用牛顿-莱布尼兹公式和求导公式和定积分的性质求一些简单初等函数的定积分
二.重难点
1重点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解.
2难点：对于牛顿-莱布尼兹公式的应用和理解.
三.知识链接.
1. 牛顿-莱布尼兹公式的理解.
一般的，如果f(x)是区间[]b a ,上的连续函数，并且),()(|x f x F =那么)()()(a F b F x f a b -=⎰.这个结论叫微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式
（1） 计算定积分dx x f a b )(⎰的关键是找到满足函数)()(|x f x F =的函数)(x F .
（2） 通常利用基本初等函数的求导公式和定积分的性质求出)(x F .
如cdx m n bxdx m n dx ax m n dx c bx ax m n ⎰⎰⎰⎰++=++22)(，
分成各个简单的函数进行积分较简单，求导运算和求)(x F 的运算是互逆的运算.
（3） ,|)(F )()(b
a x a F
b F 记成-即)()(|)()(a F b F x F dx x f a
b b a -==⎰ （4） 只有f(x)在区间[]b a ,上连续，定积分dx x f a b )(⎰才存在
（5） 实际上F(x)+c(c 为常数)的导数和F(x)的导数相同，故
dx x f a b )(⎰可以写成[][]c a F c b F +-+)()(，但结果与)()(a F b F -相同，故省略了c
2. 复合函数的定积分
求复合函数的定积分主要依据定积分的性质
（1） 有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和.即
[]dx x f a b dx x f a b dx x f a b dx x f x f x f a b n n )(.......)()()(.......)()(2121⎰⎰⎰⎰±±±=±±±
（2） 常数因子课题到积分符号外面，即dx x f a b k dx x kf a b )()(⎰⎰=
（3） 当积分上限于下限交换时，积分值一定要反号，即
dx x f b a dx x f a b )()(⎰⎰-= （4） 积分的可加性.若[]b a c ,∈,则有dx x f c b dx x f a c dx x f a b )()()(⎰⎰⎰+=
四.导学过程
1.利用微积分基本定理求定积分和求分段函数的积分
（1）求定积分dx x x )1(49+⎰ （结果为456
1） （2）已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤)42(,1)22
(,1)20(,sin x x x x x ππ 求这个函数在[]4,0上的定积分.（结果为7-2π） 2.利用函数图形的几何意义进行定积分的计算 （当原函数不容易求时） 求定积分dx x x 26162
3-+-⎰ 点拨：利用2616)(x x x f -+=所表示图形的几何意义求解
解：设y=2616x x -+，即)0(25)3(2
2≥=+-y y x
dx x x 26162
3-+-⎰表示在[]3,2-上的一段与坐标轴所围成的四分之一圆的面积，圆 的半径为5.
∴ dx x x 261623-+-⎰=π4
25 变式训练：利用数形结合的思想计算
dx x 2422--⎰（结果为π2） 五.知识归纳、总结
1.用定积分定义求定积分是一件很麻烦的事.用牛顿-莱布尼兹公式求定积分就简单多啦，即
要求dx x f a
b )(⎰，只要找到),()('x f x F =的一个F （x ），求出,|)(F b
a x 就可以了 2.求定积分dx x f a
b )(⎰，当f(x)比较复杂时可根据定积分的性质转化为几个简单函数的定积分的和差进行计算，但切记不能转化为定积分的积于商进行运算.
3.分段函数的定积分问题，需根据积分上限、积分下限和分段函数的临界点确定被积函数的解析式后再分别求出定积分.
六.当堂检测
1.=-⎰dx x e x )sin (0
5π（ ） A. -π5e 1 B. -π5e 2 C. -π5e 3 D. -π5e 4 2.=+⎰dx x
x 1352（ ） A ，8-35ln B ， 8+35ln C ， 16-35ln D ， 16+35ln 3.=-⎰dx x x 2)cos 2(sin 0
2π
＿＿＿＿＿＿＿ 4.=-⎰dx x e x )(12 ______________
七.针对性练习
1.=+⎰dx x )1(cos 0π
( ) A. 1 B. 0 C. 1+π D. π
2.若2ln 3)1
2(1+=+⎰dx x x a
，则a 的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
3. =-⎰dx x |4|012
( ) A 310 B 311 C 312 D 313
4.=+-⎰dx e e x x )(01( ) A , e e 1+ B, e 2 C , e 2 D, e e 1
-
5.若xdx c dx x b dx x a sin 02
,02
,0232⎰⎰⎰===，则a,b,c 的大小关系是（
） A b c a << B c b a << C a b c << D b a c <<
6. 若2)2(01
=+⎰dx k x ，则k=＿＿＿＿＿
7.已知函数x x x f 23)(2+=，若)(2)(11
a f dx x f =-⎰成立，则a=＿＿＿＿
8. 若.1)(02,1)(01-==⎰⎰dx x f dx x f ，则=⎰dx x f )(12
＿＿＿＿＿
9. =-⎰kxdx sin ππ
＿＿＿＿＿
10. （14分）求c 的值，使dx c cx x 22)(01
++⎰最小.
八.学后小结与反思
1.本节课学习了＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.本节课的得是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3.本节课的失是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。