一、解答题1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'112()e ln e e e .xx x x a b b f x a x x x x--=+-+ 由题意可得'(1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==.（Ⅱ）由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x xf x x x -=+从而()1f x >等价于2ln e .ex x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1(0,)ex ∈时，'()0g x <; 当1(,)ex ∈+∞时，'()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e+∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11().e eg =-. 设函数2()eexh x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，'()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)eh =-. 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >.2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解.解析（1）2/222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*）当1a ≥时，/()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/()0f x =得1x =（2x =-舍去）．当1(0,)x x ∈时，/()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．当01a <<时，()f x在区间(0,上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x的极值点只可能是1x =和2x =-，且由定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a ->-且2-≠-，解得12a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而 令21a x -=，则01a <<且12a ≠-知：当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<． 记22()ln 2g x x x=+-， （Ⅰ）当10x -<<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以/222222()0x g x x x x-=-=< 因此，()g x 在区间(1,0)-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时， 12()()0f x f x +<．（Ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以/222222()0x g x x x x-=-=< 因此，()g x 在区间(0,1)上单调递减，从而()(1)0g x g >=，故当时112a <<，12()()0f x f x +>．综上所述，满足条件的a 的取值范围为1(,1)2． 3. (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有()()e ee e ()x x x xf x f x -----=+=+=，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)解：由条件知(e e1)e 1x xx m --+-≤-在(0，+∞)上恒成立．令t = e x(x >0)，则t >1，所以m ≤21111111t t t t t --=--+-++-对于任意t >1成立．因为11111t t -++≥- = 3，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当t = 2，即x = ln2时等号成立．因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．(3)解：令函数31()e (3)e xx g x a x x =+--+，则21()e 3(1)exxg x a x '=-+-． 当x ≥1时，1e 0ex x ->，x 2– 1≥0，又a >0，故g ′(x )>0，所以g (x )是[1，+∞)上的单调增函数， 因此g (x )在[1，+∞)上的最小值是1(1)e e 2g a -=+-．由于存在x 0∈[1，+∞)，使0030e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值g (1)<0， 故1e+e20a --<，即1e e2a -+>． 令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()1h x '=-e 1x-，令h ′(x ) = 0，得e 1x =-．当(0,e 1)x ∈-时，h ′(x )<0，故h (x )是(0,e 1)-上的单调减函数．当x ∈(e – 1，+∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e – 1，+∞)上的单调增函数． 所以h (x )在(0，+∞)上的最小值是(e 1)h -．注意到h (1) = h (e) = 0，所以当(1,e 1)x ∈- ?(0,e 1)-时，(e 1)h -)≤h (x )<h (1) = 0； 当(e 1,e)(e 1,)a ∈-⊆-+∞时，h (x )<h (e) = 0，所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．①当a ∈1e e ,e 2-⎛⎫+⎪⎝⎭?(1，e)时，h (a )<0，即1(e 1)ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当a = e 时，1e 1ea a --<；③当(e,)(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，h (a )>h (e) = 0，即1(e 1)ln a a ->-，故1e 1e a a -->．综上所述，当a ∈1e e ,e 2-⎛⎫+⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<，当a = e 时，1e 1e a a --=，当(e,)a ∈+∞ 时，1e 1ea a -->．4. 解题指南：（I ）利用'()f x 为偶函数和()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的斜率为4c -建立关于,a b 的方程求解. （II ）利用基本不等式求解.(III)需对c 进行分类，讨论方程'()0f x =是否有实根，从而确定极值.解析：（I ）对()f x 求导得'22()22xxf x aebec -=+-，由()f x '为偶函数，知'()'()f x f x -=，即222()()0x x a b e e --+=，因220x x e e -+>，所以a b =. 又'(0)224f a b c c =+-=-，故1,1a b ==. （II ）当3c =时，22()3x x f x e e x -=--，那么故()f x 在R 上为增函数.(III)由（Ⅰ）知'22()22x x f x e e c -=+-，而22224,x x e e -+≥当0x =时等号成立. 下面分三种情况进行讨论.当4c <时，对任意22,()220x x x R f x e e c -'∈=+->，此时()f x 无极值； 当4c =时，对任意220,()220x x x f x e e c -'≠=+->，此时()f x 无极值；当4c >时，令2xe t =，注意到方程220t c t+-=有两根1,20t =>， 即'()0f x =有两根112211ln ln 22x t x t ==或. 当12x x x <<时，'()0f x <；又当2x x >时，'()0f x >，从而'()f x 在2x x =处取得极小值； 综上，若'()f x 有极值，则c 取值范围为()4,+∞.5. 解题指南（1）先求导数，结合解不等式求解函数的单调区间；（2）利用单调性与导数的关系求解字母的取值范围.解析⑴当4b =时,2()(4f x x x =++定义域为12(,)-∞,212()(24)(44)(2)f x x x x '=+++⨯-=.令()0f x '=,解得12x =-,20x =. 当2x <-或120x <<时,()0f x '<；当20x -<<时,()0f x '>.所以()f x 在(,2)-∞-,12(0,)上单调递减；在(2,0)-上单调递增.所以当2x =-时,()f x 取得极小值(2)0f -=；当0x =时,()f x 取得极大值(0)4f =.⑵因为()f x 在13(0,)上单调递增,所以()0f x '≥,且不恒等于0对13(0,)x ∈恒成立.2212()(2)()(2)f x x b x bx b '=+++⨯-=所以25320x bx x --+≥,得min 253()x b -≤.因为1252513339x-⨯->=,所以19b ≤,故b 的取值范围为19(,]-∞.6. 解析：（Ⅰ）对()f x 求导得222(6)(3)3(6)'(),()x x x xx a e x ax e x a x af x e e+-+-+-+== 因为()f x 在0x =处取得极值，所以'(0)0f =即0a =.当0a =时，()f x =22336,'(),x xx x x f x e e -+=故33(1),'(1),f f e e==从而()f x 在点（1，(1)f ）处的切线方程为33(1),y x e e-=-化简得30.x ey -= （Ⅱ）由（Ⅰ）知23(6)'().xx a x af x e-+-+= 令2()3(6),g x x a x a =-+-+由()0g x =解得12x x == 当1x x <时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；当12x x x <<时，()0g x >，即'()0f x >，故()f x 为增函数；当2x x >时，()0g x <，即'()0f x <，故()f x 为减函数；由()f x 在[)3,+∞上为减函数，知263,6a x -=≤解得9,2a ≥- 故a 的取值范围为9,.2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭考点分类第四章 考点一、导数的概念、运算及其几何意义；考点二、导数的应用；第九章 考点一、不等关系与一元二次不等式7. 解：（1）∵22'()2(1)(1)0x x xf x x x x =++=+≥e e e （仅当1x =-时取等号），∴()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞．（2）∵(0)10f a =-<，2(ln )(ln )0f a a a =>，∴()f x 在单调递增区间(,)-∞+∞上仅有一个零点．（3）由题意知'()0P f x =，又仅'(1)0f -=，得1P x =-，2P y a =-e，由题意知'()OP f m k =，得22(1)m m a +=-e e，要证1m ≤，即要证32(1)m a +≤-e ，只需证32(1)(1)mm m +≤+e ，即要证1m m +≤e ，① 设()1mg m m =+-e ，则'()1mg m =-e ， 又'()00g m m ⇔==，∴()g m 在(,0)-∞上递增，在(0,)∞+上递减。