第一章习题答案1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。

计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。

检验员每错检一件，工厂损失2元。

现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。

为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员21x x ； （2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤01-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。

欲选择一组设计变量T T n D dx x x ][][2321==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。

试建立该优化问题的数学模型。

注：弹簧的应力与变形计算公式如下322234881,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比），解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f (X ) =322124x x rx π（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) =322124x x rx π X ∈R 3·s.t. g 1(X ) =0.5-x 1 ≤0g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+312218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-413328Gx x Fx ≤01-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。

解：根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡h r x x21高底面半径 ,表面积为目标函数，即：m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2考虑题示的约束条件之后，该优化问题数学模型为：m i n f (X ) = πx 12 + 2π x 1 x 2X =[x 1,x 2]T∈R 2s.t . g 1(X ) = -x 1 ≤0g 2(X ) = -x 2 ≤0h 1(X ) = 8000 - πx 12 x 2 = 01-4 要建造一个容积为1500 m 3的长方形仓库，已知每平方米墙壁、屋顶和地面的造价分别为4元、6元和12元。

基于美学的考虑，其宽度应为高度的两倍。

现欲使其造价最低，试导出相应优化问题的数学模型。

解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡高宽长321x x x ； （2）建立数学模型的目标函数；取总价格为目标函数，即：f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 6 x 1 x 2 + 12 x 1 x 2（3）建立数学模型的约束函数；1）仓库的容积为1500 m 3。

即：1500-x 1 x 2 x 3 =02）仓库宽度为高度的两倍。

即：x 2 -2 x 3 = 03）各变量取值应大于0，即：x 1 > 0, x 2 .> 0.，则 -x 1 ≤0，-x 2 ≤0（4）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 8(x 1 x 3 + x 2 x 3) + 18 x 1 x 2 X ∈R 3·s.t. g 1(X ) = -x 1 ≤0g 2(X ) = -x 2 ≤0 g 3(X ) = -x 3 ≤0 h 1(X ) = 1500-x 1 x 2 x 3 =0 h 2(X ) = x 2 -2 x 3 = 01-5 绘出约束条件：82221≤+x x ； 82221≤+-x x ； 421≤x x 所确定的可行域 1-6 试在三维设计空间中，用向量分别表示设计变量： 1[132]T =X ; 2[234]T =X ; 3[414]T =X 。

第二章习题答案2-1 请作示意图解释：(1)()()()k k k k α+=+XX S 的几何意义。

2-2 已知两向量12[1220],[2021]T T P P =-=,求该两向量之间的夹角θ。

2-3 求四维空间内两点)2,1,3,1(-和)0,5,6,2(之间的距离。

2-4 计算二元函数321121()56f x x x x =-+-X 在(0)[11]T =X 处，沿方向[12]T=-S 的方向导数(0)'()s f X 和沿该点梯度方向的方向导数(0)'()f ∇X 。

2-5 已知一约束优化设计问题的数学模型为2212121122123142min ()(3)(4)[,]()50() 2.50()0()0Tf x x x xg x x g x x g x g x =-+-==+-≤=--≤=-≤=-≤X X X X X X求：(1) 以一定的比例尺画出当目标函数依次为()1234f =X 、、、时的四条等值线，并在图上画出可行区的范围。

(2) 找出图上的无约束最优解1*X 和对应的函数值1()f *X ，约束最优解2*X 和2()f *X ；(3) 若加入一个等式约束条件：12()0h x x =-=X求此时的最优解3*X ，3()f *X 。

解：下图为目标函数与约束函数（条件）设计平面X 1OX 2 。

其中的同心圆是目标函数依次为f (X )=1、2、3、4时的四条等值线；阴影的所围的部分为可行域。

由于目标函数的等值线为一同心圆，所以无约束最优解为该圆圆心即：X 1*＝[3，4]T函数值 f (X 1*)= 0 。

而约束最优解应在由约束线g 1(X)=0，g 2(X)=0，g 3(X)=0，g 4(X)=0，组成的可行域（阴影线内侧）内寻找，即约束曲线g 1(X)=0与某一等值线的一个切点X 2*，可以联立方程：⎩⎨⎧=+-=-+01052121x x x x ，解得X 2*=[2，3] 。

函数值 f (X 2*)= (2-3)2 + (3-4)2 = 2 。

加入等式约束条件，则X 3*为可行域上为h 1(X )=0上与某一条等值线的交点，可以联立方程：⎩⎨⎧=-=-+052121x x x x ， 解得X 3*=[5/2，5/2] 。

函数值 f (X 3*)= (5/2-3)2 + (5/2-4)2 = 2.5 。

2-6 试证明在(1,1)点处函数522)(1222122141+-++-=x x x x x x f X 具有极小值。

证明：求驻点：2244)(121311-+-=∂∂x x x x x X f ，221222)(x x x X f +-=∂∂ 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，4)(]11[**==x f x T ，极值得：驻点 2)(4)()(2412)(2221122212221212=∂∂-=∂∂∂=∂∂∂+-=∂∂x X f x x x X f x x X f x x x X f ，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=24410)(X H 海赛矩阵 0244100102221121111>--=>=a a a a a ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以驻点必定是极小点。

故在(1,1)点处函数)(X f 具有极小值。

2-7 求函数221212()32210f x x x x =+--+X 的极值点，并判断其极值的性质。

解：26)(11-=∂∂x x X f ，14)(22-=∂∂x x X f 0)(0)(21=∂∂=∂∂x X f x X f ，由，24/229)(]4/13/1[**==x f x T ，极值得：极值点 4)(0)()(6)(222122212212=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x x X f x X f ，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4006)(X H 海赛矩阵04006062221121111>=>=a a a aa ，各阶主子式：H (X )是正定的，所以，)(X f 为凸函数。

24/229)(]4/13/1[**==x f T ，极值得：极值点X2-8 试判断函数2212121()221f x x x x x =+-++X 的凸性。

解：124)(211+-=∂∂x x x X f ，12222)(x x x X f -=∂∂ 2)(2)(2)(5)(222122212212=∂∂-=∂∂∂-=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x x X f x X f ，，， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2225)(X H 海赛矩阵 02225052221121111>--=>=a a a a a ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。

2-9 试用向量及矩阵形式表示221212()10460f x x x x =+--+X 并证明它在12{,,1,2}i x x x i =-∞<<∞=D 上是一个凸函数。

解：211210)(x x x X f -+-=∂∂，12224)(x x x X f -+-=∂∂ 2)(1)(2)(222212212=∂∂-=∂∂∂=∂∂x X f x x X f x X f ，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2112)(X H 海赛矩阵 02112022221121111>--=>=a a a a a ，各阶主子式：H (X )是正定的， 所以，)(X f 为凸函数。

2-10 现已获得优化问题212221122221212223124152min ()412..()250()1010340()(3)(1)0()0()0f x x s tg x x g x x x x g x x g x g x =--=+-≤=+--+≤=----≤=-≤=-≤X X X X X X的一个数值解[1.000,4.900]T=X ,试判定该解是否上述问题的最优解。