第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案3-1 已知系统脉冲响应t 25.1e 0125.0)t (k -=，试求系统闭环传递函数)s (Φ。

解 [])25.1s /(0125.0)t (k L )s (+==Φ3-2 一阶系统结构如图所示。

要求单位阶跃输入时调节时间4.0t s ≤s （误差带为5%），稳态输出为2，试确定参数21k ,k 的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数 1k k s k 1k k s k sk k 1s k )s (212211211+=+=+=Φ 闭环增益2k 1k 2==Φ， 得：5.0k 2= 令调节时间4.0k k 3T 3t 21s ≤==，得：15k 1≥。

3-3 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0<%32.4%≤σ，调节时间 s 5.0t s <，峰值时间s 1t p <，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解 依题 %32.4%≤σ， )45(707.0︒≤≥⇒βξ；5.05.3t ns <ωξ=， 7n >ωξ⇒； n p t ωξπ21-=1<， 14.312>-⇒n ωξ综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。

3-4 电子心脏起博器心律控制系统结构如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。

解 依题，系统传递函数为2n n 22n 2s 2s 05.0K s 05.01s 05.0K)s (ω+ξω+ω=++=Φ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ω⨯=ξ=ωn n 205.0105.0K 令 5.0=ξ可解出 ⎩⎨⎧=ω=2020K n将 s 1t =代入二阶系统阶跃响应公式()β+ωξ-ξ--=ξω-t 1sin 1e 1)t (h n 22tn 可得 m in 00145.60s 000024.1)1(h 次次==5.0=ξ时，系统超调量 %3.16%=σ，最大心速为min 78.69s 163.1163.01t (h p 次次）==+=3-5 机器人控制系统结构如图所示, 试确定参数21k ,k 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0t p =s ，超调量%2%=σ。

解 依题，系统传递函数为（1） 若5.0=ξ对应最佳响应，问起博器增益K 应取多大？（2） 若期望心速为60次/min ，并突然接通起博器，问1s 钟后实际心速为多少？瞬时最大心速多大？2n n 22n 12121211s 2s K K s )K K 1(s K )1s (s )1s K (K 1)1s (s K )s (ω+ξω+ω=+++=++++=ΦΦ 由 ⎪⎩⎪⎨⎧=ωξ-π=≤=σξ-πξ-5.01t 02.0e n 2p 1o o 2 联立求解得 ⎩⎨⎧=ω=ξ1078.0n 比较)(s Φ分母系数得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-ξω==ω=146.0K 12K 100K 1n 22n 1 3-6 图(a)所示系统的单位阶跃响应如图(b)所示。

试确定系统参数,k 12k ，a 和传递函数C(s)/R(s)。

解 由系统阶跃响应曲线有⎪⎩⎪⎨⎧=-=σ==∞oo o o p 3.333)34(1.0t 3)(h系统闭环传递函数为2nn 22n 21221s 2s K K as s K K )s (ω+ξω+ω=++=Φ（1）由 ⎪⎩⎪⎨⎧==σ=ωξ-π=ξ-ξπ-o o 1oo n 2p 3.33e 1.01t 2 联立求解得 ⎩⎨⎧=ω=ξ28.3333.0n 由式（1）⎩⎨⎧=ξω==ω=222a 1108K n 2n 1 另外 3K K as s K K lim s 1)s (s lim )(h 212210s 0s ==++=⋅Φ=∞→→ 56.110796s .21s 68.3322)s (2++=Φ3-7 已知系统的特征方程为D(s)，试判断系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1） 0100s 24s 8s )s (D 23=+++=（2） 02s s 5s 10s 3)s (D 234=++++=(3) 010s 11s 4s 2s 2s )s (D 2345=+++++=(4) 048s 32s 24s 12s 3s )s (D 2345=+++++=(5) 05s 2s 4s 2s )s (D 234=-++-=解 （1） 0100s 24s 8s )s (D 23=+++=Routh ： s 3 1 24s 2 8 100s 1 92s 0100 第一列同号，所以系统稳定。

（2） 02s s 5s 10s 3)s (D 234=++++=Routh ： s 4 3 5 2s 3 10 1s 2 47 20s 1 -153s 0 20第一列元素变号两次，有2个正实部根。

（3）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0Routh ： S 5 1 2 11S 4 2 4 10S 3 ε 12S 2 244-ε ε10S 1442452+ε-εS 0 ε10第一列元素变号两次，有2个正实部根。

（4）483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0Routh ： s 5 1 12 32s 4 3 24 48 s 33122434⨯-= 32348316⨯-= 0 s 2 424316412⨯-⨯= 48 s 1216448120⨯-⨯= 辅助方程 124802s +=, s 24 辅助方程求导：024=s s 0 48第一列没有变号，系统没有正实部根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 2j s 2,1±=，系统不稳定。

(5) 05s 2s 4s 2s )s (D 234=-++-=Routh ： s 4 1 4 -5s 3 -2 2s 2 10 -10s 1 0 辅助方程 010s 102=-s 1 20 辅助方程求导 0s 20=s 0 -10第一列元素变号3次，有3个正实部根,系统不稳定。

.解辅助方程得:s 1=-1，s 2=+1，由长除法得s 3=+1+j2，s 4=+1-j23-8 单位反馈系统的开环传递函数)5s )(3s (s k )s (G ++=，试判断系统稳定性；若要求系统特征根的实部不大于1-，试确定k 的取值范围。

解 特征方程为：0k s 15s 8s )s (D 23=+++=Routh ： S 3 1 15S 2 8 kS 120-kS 0 k120k 0<<时系统稳定。

做代换 1s s -'= 有： 0)8k (s 2s 5s k )1s (15)1s (8)1s ()s (D 2323=-+'+'+'=+-'+-+-'=' Routh ： S 3 1 2S 2 5 k-8S 18-k 18k <⇒S 0 k-8 8k >⇒系统特征根的实部不大于1-的k 值范围为： 18k 8≤≤3-9 下图是船舶横摇镇定系统结构图，为增加船只的阻尼引入了内环速度反馈。

(1) 动力矩对船只倾斜角的传递函数)s (M )s (N Θ； (2) 单位阶跃时倾斜角θ的终值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求2k 、1k 和3k 应满足的方程。

解 （1）)K K 5.01(s )K K 5.02.0(s 5.01s 2.0s K K 5.01s 2.0s s K K 5.011s 2.0s 5.0)s (M )s (213222a 12322N ++++=++++++++=Θ（2）由题意知：1.0K K 5.015.0)s (M )s (s 1s lim )s (M )s ()s (M s lim )(21N 0s N N 0s ≤+=Θ⋅⋅=Θ⋅=∞θ→→ 得8K K 21≥。

由 )s (M )s (N Θ 有： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=5.025.02.05.013221n n K K K K ωξω， 可得 55.015.02.02132≥+=+K K K K 最终得：072.44.05232=-≥k k 3-10 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。

若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数1Ts 1)s (+=Φ，由一阶系统阶跃响应特性可知：o o 98)T 4(h =，因此有 min 1T 4=，得出 min 25.0T =。

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts 1)s (1)s ()s (G =Φ-Φ= ⎩⎨⎧==1v T 1K 用静态误差系数法，当t 10)t (r ⋅= 时，C 5.2T 10K 10e ss ︒===。

解法二 依题意，系统误差定义为 )t (c )t (r )t (e -=，应有 1Ts Ts 1Ts 11)s (R )s (C 1)s (R )s (E )s (e +=+-=-==Φ C 5.2T 10s101Ts Ts s lim )s (R )s (s lim e 20s e 0s ss ︒==⋅+=Φ=→→3-11 某单位反馈系统的开环传递函数如下，试求系统的静态误差系数及输入信号分别为t ),t (1)t (r =和2t 时系统的稳态误差。

)2s 2s )(4s (s )1s (7)s (G 2++++= 解 )2s 2s )(4s (s )1s (7)s (G 2++++= ⎩⎨⎧==1v 87K 由静态误差系数法)t (1)t (r =时， 0e ss =t )t (r =时， 14.178K A e ss === 2t )t (r =时， ∞=ss e3-12 试确定图示系统中参数0K 和τ的值，使系统对)(t r 而言是II 型系统。

解 )1s (K K )1s T )(1s T ()1s (K )1s T )(1s T ()1s (K K 1)1s T )(1s T ()1s (K )s (G 02121021+τ-+++τ=+++τ-+++τ= )K K 1(s )K K T T (s T T )1s (K 0021221-+τ-+++τ= 依题意应有：⎩⎨⎧=τ-+=-0K K T T 0K K 10210 联立求解得 ⎩⎨⎧+=τ=210T T K 1K 此时系统开环传递函数为 22121s T T K s )T T (K )s (G ++=考虑系统的稳定性，系统特征方程为0K s )T T (K s T T )s (D 21221=+++=当 1T ，2T ，0K >时，系统稳定。