② ξ = 1时，（临界阻尼） S1 ，S2 为一对相等的负实数根。
h(t) ? 1? e??nt (1? ? nt)
ts ? 4.75T1
响应是没有超调，具有没有超调中最快的响应速度；
2
课程回顾（ 3）
③ 0＜ξ＜1时，（欠阻尼） S1 ，S2 为一对具有负实部的共轭复
根。
h(t) ? 1 ?
e ? ?ωn t
要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼 比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求 选定 ξ ，然后在根据其它要求来确定 ω n 。
??阻尼比： ?不变；固有频率 ? n ??
?
?? % ?
? ?
t
s
?
tr
?
tp
?
?
?固有频率 ?
??
n不变；阻尼比
?
??
?? % ?
??t s ? t p ?
令dh(t) dt
? 0,得
t?tp
? ?sin(ωdt ?β)? 1? ? 2 cos(ωdt ?β)? 0
tan(ωdt ?β)? 1? ? 2 /? ? tanβ
? ωdtp ? nπ (n ? 0,1,2,3?) 按定义取 n=1得:
tp
?
π ωd
? ωn
π
1? ? 2
6
?3. 超调量 ? %：
?例3-3设位置随动系统，其结构图如图所示，当给 定输入为 单位阶跃时，试计算放大器增益 KA＝200， 1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰 值时间tp，调节时间 ts和超调量 ?? ，并分析比较之。
e sine( ) （由0σ﹤%ξ=h≤(0t.)h8=(）t ph1)(－∞－t)sh(?∞√?3)?1.1%5-n0ξ21(0取5％S得1,误2-σ=ξ%ω差n-t=带ξω）n
ts ?
±j
-πξ
ωn
1?
√1-ξ2
? 2 100%
ωd t+ β
4.5 (取2％误差10 带）
?? n
三、二阶系统举例
j
j
h(t) ? 1?
1
?1t
e T1 ?
1
?1t
e T2 ,( t ? 0)
T2 / T1 ? 1
T1 / T2 ? 1
S1 S2
0
ts ~ f (T1 )
T1
T2
0
t
T1/T2 ? 4( ? ? 1.25), ts ? 3.3T1
T1/T2 ? 4( ? ? 1.25), ts ? 3T1
响应与一阶系统相似，没有超调，但调节速度慢；
5
h(t) ? 1? 1 e?ζ
?2. 峰1值?ζ时2 间
tωntps：in(ωd
t
?β),t
?
0
dhd(t峰t) 值? ?时1间?1ζt2p：?(?为ζωc(n )t?)e?ζ ωntsin(ωdt ?β)?ωde?ζ ωntcos(ωdt ?β)?
? ? dhd根(t第t)据一? 极?次ω值n出1e定??ζ现ζω理2n峰t 有?值ζ：s时in间(ω。dt ?β)? 1?ζ2 cos(ωdt ?β)
? 1 ? e??? /
π ?β) 1 ?ζ2
1?
?
2
?
%?
h(t
p) ?
h(?
) ? 100%
?
e? ??
/
1? ? 2
? 100%
h(? )
即σ%完全由 ?决定,? ? ,σ%出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统 十，经常采用下列近似公式。
当阻尼比 0 ? ? ? 0.8时
将峰值时间 tp ? ? / ? d 代入下式
h(t) ? 1?
1
1? ?
2
e? ?? nt
sin(?
dt
?
arccos?
)
得: h(t )max ?
?
所以:
shi(?nthhp(((t)ttπp)p?)??1?ω?1π?1?βd?e??1)ω?11?1???ζ1n?/ζ2π?1?12?e??2se?ζζ2?iζ2ωsnω nitnnsβ?ωi(n?nπ(1??ζω?2 ?saditrnc?(1cβωo?s)d??ω)n2
4
欠阻尼二阶系统 单位阶跃响应性能指标
?1. 上升时间 tr ：令 h(tr ) ? 1，则
1?
1
1? ?2
e? ?? nt
sin(?
dt
?
arccos? )
?
1
所以： ? ωdtr ? arccos? ?π
tr
π- arccos ?
?
ωd
π- ?
?
ωn 1? ? 2
由上式可见，如欲减小tr ，当ζ一定时，需增大ω n，反之， 若ω n一定时，则需减小ζ。
1? ? 2
sin(ω
dt ? β)
虽然响应有超调，但上升速度较快，调节时间也较短。合理选 择?的取值，使系统具有满意的响应快速性和平稳性。 ④ 当ξ=0时，（无阻尼，零阻尼） S1 ，S2 为一对幅值相等的 虚根。
h(t) ? 1? cosωnt
响应曲线是等幅振荡；
3
课程小结（4）
⑤ 当ξ＜0时，（负阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。
(0 ? ? ? 0.8)
实际设计中，一般取ξ = 0.4 ～ 0.8。其中以ξ = 0.707 时为 最佳阻尼。
9
欠阻尼二阶系统动态性能分析与计算
e sin( ) 令令 取-hξh其hω(((βtωntt)解)=)n一1=中0ωj取阶的1d其导=－最解数ω小√n中1√=值-10ξ-的ξ21，，2 最小值Φ-ξ0ω(，snt<)=得ξ得<st12pωt+=时r=d2tξωω：+πωdβnπ2nωs-+dβω n2
响应是发散的，系统不能正常工作；
小结： ⅰ） 二阶系统正常工作的基本条件是 ξ＞0 ；而ξ＜0系统不稳定； ⅱ） 当ξ ≥1时，其阶跃响应曲线是单调上升的（即非周期性的）；
※ⅲ）当0＜ξ＜1时，其阶跃响应曲线是振荡衰减的（即具周期性）。
工程上有时把阻尼比?=0.707称为最佳阻尼比。实际设计 中，一般取ξ = 0.4~0.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具 有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间。
ts
?
3.5
?? n
(取5％误差带）
ts
?
4.5
?? n
(取2％误差带）
8
除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工 作在ξ=0.4～0.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度振
荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此有关性能 指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻 尼工作状态进行的。
课程回顾（ 1）
§3-2-2二阶系统的数学模型及单位阶跃响应
Φ(s)?
T2s2
?
1
2?Ts? 1 ?
s2
?
ωn2
2?ωns ? ωn2
式中,ωn
?
1, T
特征方程
s2
?
2??
ns
?
?
2 n
?
0
特征方程的两个根（闭环极点） S1,2 ? ???n ? ? n ? 2 ? 1
1
课程回顾（ 2）
① ξ＞1时，（过阻尼） S1 ，S2 为一对不等的负实数根。