5 q50 0.1
5 p50 0.9
q55

1 45

5.25
q50UDD
0.1
0.9

0.25
1 45

0.105
5.25 q50 CF
0.1 0.9 (1
44 0.25 )
45

0.1050422
0.25 5.25 q50 Balducci 0.1 0.9 44 0.25 0.1050847
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 (x t) (1 t)S0 (x) tS0 (x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
S0 (x t) S0 (x)(1t) S0 (x 1)t , 0 t 1
Balducci假定(调和插值)
yqx 1 (1 y t)qx
qx 1 (1 t)qx
px qx [1 (1 t )qx ]2
例：已知
lx
10000(1 x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5 q30 ,5.25 q50， 30.5
解： 1、q30

l30 l31 l30
•选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
选择生命表：依据q[n]n编制的生命表。它表明随年龄和已投保期而变动 的死亡规律。
当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年，
投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡
概率可以用qx表示，有
q q q [xr]r
① 5 p[60]
，② 2 q[48]1
，③ d57
，④ 3| q52
解： ①投保时年龄为 60 岁的人生存至 65 岁的概率，其值为：
l65 ＝0.92662 l[60] ②投保时年龄为 48 岁，已生存至 49 岁的人，在 51 岁前死亡的概率，其值为：
l[48]1 l51 ＝0.00795 l[ 48]1
[ xr 1]r 1
[ xr2]r 2
qx
依据选择效果已经消失后的死亡概率资料编制的生命表
称为终极表。
注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表，
通常把他们放在一起，形成选择 终极表
由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表，
称为综合表。
16
选择生命表
选择生命表构造的原因

[ x]n1 [ x]n
q ld m [ x]n
m [ x]n [ x]n
q l l l m｜ [ x]n
[ x]nm [ x]nm1 [ x]n
选择-终极表实例
[x]
选择表
终极表
q[ x]
q[ x]1
q q [ x]2
[ x]3
q[ x]4
qx5
x5
例
假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是今 年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是10年 前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用 上面给出的选择－终极生命表估计两位老人 分别能活到73岁的概率。
甲老人的生命表轨迹
甲老人由于刚进入保障范围，所以前5年使用死亡率相对较 小的选择生命表，五年选择期满回归到终极生命表。
67 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 72
乙老人的生命表轨迹
[x]
选择表
终极表
q[ x]
q[ x]1
q q [ x]2
[ x]3
q[ x]4
qx5
x5
60 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
61 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 66 62 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 67 63 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 68
需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的 新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的 老成员。
需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时 间而逐渐消失
17
选择生命表函数关系
d[ x] n l[ x] n l[ x] n1
q[ x]n

d[ x]n l[ x]n
p ll [ x]n
第五节 生命表的编制
一、有关分数年龄的假设
使用背景:
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分 数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生 存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数 年龄的生存状况
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
＝0.5×0.006844 ＝0.003422 （b）由死亡力为常数，得：
log px log(1 qx )
于是，有：
＝1－ 0.5 q[56]1
p 0.5 [56]1
＝1－ e 0.50.006868 ＝0.003428
例：解释下列符号的意义，计算它们的值，假设死亡率符合 A1967－1970


S0 '(x t) S0 (x t)

S0 (x) S0 (x 1) S0 (x) t[S0 (x) S0 (x 1)]
qx 1 tqx
死亡力恒定假设
当假设死亡力在x~x+1上恒定时， xt
(x为整数，0≤t≤1)，
由死亡力的定义， xt
d dt ln t px
例：假设（a）整数年龄之间，采用死亡均匀分布假设 （b）整数年龄之间，采用死亡力为常数的假设
试依据 A1967－1970 选择表的数据计算：
q 0.5 [56]1
解：（a）由题意，死亡均匀分布，所以有 t qx t qx （0≤ t ≤1）
和
xt
qx 1 t qx
于是
0.5 q[56]1 ＝0.5× q[56]1
64 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 69 65 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 70 66 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 71
67 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 72
③年龄为 57 岁的人恰在 57-58 岁之间死亡的人数，表中数据为 326.69876。 ④年龄为 52 岁的人，在 55-56 岁之间死亡的概率，其值为：
d55 ＝0.00827 l52
64 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 69
65 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 70
66 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 71
67 .0326 .0464 .0586 .0727 .0889 .1024 72
[x]
选择表
终极表
q[ x]
q[ x]1
q q [ x]2
[ x]3
q[ x]4
qx5
x5
64 .0249 .0354 .0447 .0554 .0678 .0781 69
65 .0273 .0387 .0489 .0607 .0742 .0855 70
66 .0298 .0424 .0535 .0664 .0812 .0936 71
t qx

S0 (x) S0 (x S0 (x)
t)

t[S0 (x) S0 (x S0 (x)
1)]

tqx
死亡均匀分布假设
qt x y

S0 (x
y) S0 (x S0 (x y)
y t)
tqx 1 yqx
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
xt
60 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
61 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 66
62 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 67
63 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 68
1 1t t S0 (x t) S0 (x) S0 (x 1)
, 0t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 (x t) (1 t) S0 (x) t S0(x 1) (x为整数，0 t 1) S0 (x) t [S0 (x 1) S0 (x)]
1 (1 t) t s(x t) s(x) s(x 1)
巴尔杜奇(Balducci)假设
此时，
t qx

tqx
1 (1 t)q x
t qx y

tqx
1 (1 y t)q x
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
1t qxt (1 t)qx
解:
则甲老人能活到73岁的概率为
8 p[65] (1 q[65] )(1 q[66] )(1 q[67] )(1 q[68] )(1 q[69] )(1 q70 )(1 q71)(1 q72 ) 0.575403
则乙老人能活到73岁的概率为
8 p65 (1 q65 )(1 q66 )(1 q67 )(1 q68 )(1 q69 )(1 q70 )(1 q71)(1 q72 ) 0.52941