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选择—终极生命表
国民生命表又可分为完全生命表（complete life table）和简易生命 表（abridged life table）。完全生命表是根据准确的人口普查 资料，依年龄分别计算死亡率、生存率．平均余命等生命函数而 编制的；简易生命表则采取每年的人口生存状况动态统计资料和 人口抽样调查的资料，按年龄段（如5岁或10岁为一段）计算的死 亡率、生存率、平均余命等生命函数。 经验生命表又可分为终极表（ultimate table）、选择表（select table）、总合表（aggregate table）等。 终极表是指根据被保险人最终的死亡率编制的生命表，也就是按照承 保选择的影响消失后的死亡率来编制生命表 选择表是一种不同于终极表的生命表。在人寿保险的承保过程中，经 过体检等选择的被保险人的死亡率等风险低于一般人口的风险， 而且最近几年选择的被保险人的死亡率风险低于前些年选择的被 保险人的死亡率风险，考虑到这种选择因素的影响之后编制的生 命表称为选择表
第一章
生存分布与生命表
第一节引言（简单模型） 一、 生存状况与生存模型
例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生 存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40 岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡， 保险公司不会有任何给付。
二、新生婴儿的未来生存时间
一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间) 可作为一个随机变量，们用F(x)表示。
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）
平均余命，记作 e x 平均生存函数 考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡 情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存 情况由生存函数给出。
d q 正式生命表经常含有一些基本函数如l x 、 x、 x
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx）
平均余命，记作 e x 平均生存函数
o
生命表实例 选择终极生命表
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选择—终极生命表
(100 x) 2 解 （1）当0<x<100时，S(x) = Pr(X>x)=1-F(x)=...= 10000
x0 1, (100 x) 2 s X ( x) , 0 x 100 10000 x 100 0,
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（2）Pr(70<X≤80)= sX (70)- sX (80) 考虑一些概率分布
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生命表举例，看书
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对于表1-2，我们将其看成是一群生命的生存情况表， 其中： 1．这群生命在开始时由l0个0岁生命组成； 2．该生命群是封闭的。其它任何生命不准进入，成 员减少的唯一原因是死亡；
3．lx是该群生命在x岁还活着的成员的个数；
双曲假设
双曲假设又叫调和假设或Balducci假设，这 种假设下l 具有双曲线形式，即它可写成
x+s
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类似地，在双曲假设下，可以得到其它生命 表函数的表达式。
等等，见教材20页
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注意，在调和假设下，死亡力在(x，x+1)上是单 调递减的，这和直观的感觉有所不同。 一般死亡力描述了个体的瞬时死亡概率随时间变化 的情况，因此，具有递增性质的死亡力才是合乎情 理的，同时直觉也告诉我们，高龄人死亡的概率应 该比年轻人死亡的概率大。 当然，这种感觉并不一定总是正确的。 事实上，经验表明，人类生命有这样一种特性，由 于先天的缺陷或婴儿疾病，在婴幼儿阶段死亡率较 高，而后死亡率随年龄的增长而下降，并在30岁 左右趋于相对稳定，此后又随年龄的增长而升高。
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指数假设（常值死力假设）
指数假设又叫对数线性假设或常力假设，这 种假设下lx+s具有指数形式，即它可以写成的 形式
类似的有
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这表明S在(0，1)上服从参数为μ指数的指数分 布。所以有时又将指数分布称为常力分布。相应 地，将指数假设称为常力假设。
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F(x)的概念及其分布函数
F ( x) Pr X x 且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一 个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
x n x n x
x
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第三节 分数年龄假设
关于尾龄的缘由及若干假设 死亡均匀分布假设 常值死力假设 Balducci假设 线性假设又叫均匀分布假设或均匀假设，在这种假 设下，lx+s具有线性形式，即lx+s可以写成a+bs的形 式。 由连续性，知道
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将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即 K(x)=[T(x)]。 令S(x)=T(x)-K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略 未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长 度随机变量 有 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)<k+1]
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在保险精算领域，具有递增性质的死亡力是更合理 的，也是更常用的假设。
首先，因为保险精算实务中更多考虑的是处于稳定年龄 段的生命，这种生命的死亡力是递增的。 其次，当考虑的是低龄生命时，即使国民生命表相应死 亡力呈现先降而后升的形状，对保险公司来说，由于存 在选择的过程，所以往往可以将身体虚弱者挡在门外， 而只接纳那些身体条件较好者，而这些人的死亡力则是 递增的。
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x 0
F ( x)描述了随机变量 的分布函数， X
引言
例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为
2(100 x) , 0 x 100 f X ( x) 10000 0, 其它
求：（1）该地区人群的生存函数； （2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。
对于任意的年龄x，对应的X在x时的条件概率密度 函数的值，我们将该函数记为μ(x)
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概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡 的概率。 x
或称为瞬间死亡率，死亡密度
死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关 系
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由上式，可以得到
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第三节 分数年龄假设
生命表所给出的数值都是相应函数在整数点的值。 对于非整数值，在表中是找不到的。 并且，在对一些其它函数的讨论中可以发现，仅有 l 在整数点上的值是不够的。事实上，只有 p 和 q 在x和n为整数时可以仅由生命表中的l 给出。 因此，还需要对s(0<s<1)，确定lx+s的值. 通常假设lx+s作为s的函数在[0，1]区间上具有某种 数学形式，常见假设有线性假设、指数假设和双曲 假设等。 也叫做尾龄的各种假设。
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第一节引言（简单模型）
符号(x)表示x岁的生命 ；用X表示(x)死亡时的年龄， 显然，X也是一个随机变量 记X的分布函数为FX(x) FX(x)=Pr(X≤x) x≥0 显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机 事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡 概率。 死亡概率对应，定义函数SX(x) 为： 1-FX(x)= Pr(X>x) x≥0 {X>x}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿 将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x 岁仍然活着的概率 2013-5-14 2 称其为生存函数 ,简记为S(x)
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o
令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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下面讨论几个概念的关系：
q = Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1) p = Pr[(x)将活到年龄x +1]= Pr(T(x)>1)
x x
另外，用t|来表示延期t（年）。因此，对于 (x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可 以用t q 来表示，即
|u x
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或者
或者 s(x+t)=(1-t)s(x)+t·s(x+1) 都称为死亡均匀分布
0
例，设（x) 在[x,x+1]上服从死亡均匀分布，试证： e x
ex 1 2
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事实上，我们有下面的公式成立
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这是一个非常简洁且非常实用的结果，它表明，在线性假设下，区间(x,x+1) 上的条件死亡密度为一个常数，并且这个常数就是在这个区间上的死亡概率。 这同时表明随机变量s在这个区间上是均匀分布的。 lx+s的线性假设通常被称为死亡的均匀分布假设，简称为UDD假设