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令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来 记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)， 所以有
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? 下面讨论几个概念的关系：
? 一般死亡力描述了个体的瞬时死亡概率随时间变化 的情况，因此，具有递增性质的死亡力才是合乎情 理的，同时直觉也告诉我们，高龄人死亡的概率应 该比年轻人死亡的概率大。
? 当然，这种感觉并不一定总是正确的。
? 事实上，经验表明，人类生命有这样一种特性，由 于先天的缺陷或婴儿疾病，在婴幼儿阶段死亡率较 高，而后死亡率随年龄的增长而下降，并在30岁 左右趋于相对稳定，此后又随年龄的增长而升高。
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双曲假设
? 双曲假设又叫调和假设或Balducci假设，这 种假设下lx+s具有双曲线形式，即它可写成
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? 类似地，在双曲假设下，可以得到其它生命 表函数的表达式。
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等等，见教材20页
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? 注意，在调和假设下，死亡力在(x，x+1)上是单 调递减的，这和直观的感觉有所不同。
是寿险公司计算纯保险费的重要依据之一。
? 正式生命表经常含有一些基本函数如lx、d x、q x
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生命表函数
? 生存人数 l x ? 死亡人数 d x
? 生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx） o
? 平均余命，记作 e x
? 平均生存函数
? 生命表实例 ? 选择终极生命表
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lx+s的线性假设通常被称为死亡的均匀分布假设，简称为UDD假设
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指数假设（常值死力假设）
? 指数假设又叫对数线性假设或常力假设，这 种假设下lx+s具有指数形式，即它可以写成的 形式
类似的有
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这表明S在(0，1)上服从参数为μ指数的指数分 布。所以有时又将指数分布称为常力分布。相应 地，将指数假设称为常力假设。
第一章 生存分布与生命表
第一节引言（简单模型）
一、 生存状况与生存模型
例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生 存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40 岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡， 保险公司不会有任何给付。
二、新生婴儿的未来生存时间
一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间)
或者
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引言
? 精算学里，通常用符号p、q来表示生存和死亡 的概率
t p x 表示x岁的人在x+t岁时仍然生存的概率
t qx 表示x岁的人在未来t年内死亡的概率。
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? 特别地，t=1时，可以将上述符号左下角的t 省略不写
? qx= Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1)
F (x)描述了随机变量 X的分布函数， 且假设F (0) ? 0。
可以用 F(X) 表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一
个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未 来生命时间长度随机变量。
? 通常假设lx+s作为s的函数在[0，1]区间上具有某种 数学形式，常见假设有线性假设、指数假设和双曲 假设等。
? 也叫做尾龄的各种假设。
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第三节 分数年龄假设
? 关于尾龄的缘由及若干假设 死亡均匀分布假设 常值死力假设 Balducci假设
? 线性假设又叫均匀分布假设或均匀假设，在这种假 设下，lx+s具有线性形式，即lx+s可以写成a+bs的形 式。
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第三节 分数年龄假设
? 生命表所给出的数值都是相应函数在整数点的值。 对于非整数值，在表中是找不到的。
? 并且，在对一些其它函数的讨论中可以发现，仅有
lx在整数点上的值是不够的。事实上，只有
p 和 q n x
nx
在x和n为整数时可以仅由生命表中的lx给出。
? 因此，还需要对s(0<s<1)，确定lx+s的值.
? 由连续性，知道 ?
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或者
或者 s(x+t)=(1-t)s(x)+t·s(x+1)
都称为死亡均匀分布
0
例，设（x)
在[x,x+1]上服从死亡均匀分布，试证： e x
?
ex
?
1 2
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事实上，我们有下面的公式成立
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这是一个非常简洁且非常实用的结果，它表明，在线性假设下，区间(x,x+1) 上的条件死亡密度为一个常数，并且这个常数就是在这个区间上的死亡概率。 这同时表明随机变量s在这个区间上是均匀分布的。
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引言
? 例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为
fX
(x)
?
?? ?
2(100? x) 10000
,
0 ? x ? 100
?? 0,
其它
求：（1）该地区人群的生存函数； （2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。
解 （1）当0<x<100时，S(x) = Pr(X>x)=1-F(x)=...= (100 ? x)2
的概率。? x
或称为瞬间死亡率，死亡密度
? 死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关 系
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由上式，可以得到
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因为
所以
于是
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作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
F(x)
分布函数 密度函数 生存函数 死力 ? x
? 这样，再根据上述有关生命表函数的讨论，我 们有：
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? 事实上，生命表的编制是通过利用最近的一 段时期的数据
? 如中国人寿保险业经验生命表(2000-2003) 所使用的是2000-2003年期间中国人寿保 险业有关的数据
? 通过先估计各年龄死亡率qx，然后再由qx衍 生出lx的。
可作为一个随机变量，我们用F(x)表示。
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第一节引言（简单模型）
? 符号(x)表示x岁的生命 ；用X表示(x)死亡时的年龄， 显然，X也是一个随机变量
? 记X的分布函数为FX(x)
? FX(x)=Pr(X≤x) x≥0
? 显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机 事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡 概率。
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选择—终极生命表
国民生命表又可分为完全生命表（complete life table）和简易生命 表（abridged life table）。完全生命表是根据准确的人口普查 资料，依年龄分别计算死亡率、生存率．平均余命等生命函数而 编制的；简易生命表则采取每年的人口生存状况动态统计资料和 人口抽样调查的资料，按年龄段（如5岁或10岁为一段）计算的死 亡率、生存率、平均余命等生命函数。
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第5节 选择和终极生命表
? 生命表的概念
生命表（Life table）又称（mortality table），它是根 据一定时期的特定国家（或地区）或特定人口群体（如 寿险公司的全体被保险人、某企业的全体员工）的有关 生存状况统计资料，编制成的统计表。生命表是描述人 的寿命或（x)的未来寿命的概率分布的一种表示形式。
经验生命表又可分为终极表（ultimate table）、选择表（select table）、总合表（aggregate table）等。
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? 在保险精算领域，具有递增性质的死亡力是更合理 的，也是更常用的假设。
? 首先，因为保险精算实务中更多考虑的是处于稳定年龄 段的生命，这种生命的死亡力是递增的。
? 其次，当考虑的是低龄生命时，即使国民生命表相应死 亡力呈现先降而后升的形状，对保险公司来说，由于存 在选择的过程，所以往往可以将身体虚弱者挡在门外， 而只接纳那些身体条件较好者，而这些人的死亡力则是 递增的。
? 该条件概率（已到达x岁的人在接下来y-x年内死亡的 概率）可以看成x的函数，利用微积分的技术，考虑yx为无穷小量（令y-x=? x），则该概率可以成为一个 瞬间的死亡率
对于任意的年龄x，对应的X在x时的条件概率密度
函数的值，我们将该函数记为μ(x)
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? 概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡
F(x)
f(x)
S(x)
f(x)
S(x)
?x
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第二节 生命表
? 对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长 度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函 数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可 能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来 描述我们所要研究的特定的随机变量 X和T(x)。
? 在前面所作的三种假设中，线性假设下死亡力是递 增的；指数假设下的死亡力为常数；调和假设则产 生递减的死亡力。