二元函数极限不存在的判别
①
桂　咏　新
(数学系) 摘　要　本文根据二元函数的结构特征,给出了判定二元函数极限不存在的几种路径选取
方法.
关键词　二重极限;λ次齐次函数;广义零次齐次函数
本文只讨论点(x 0,y 0)=(0,0)的情形,若(x 0,y 0)≠(0,0)而x 0,y 0均为有限数时,可令x =x 0+s y =y 0+t =,便有lim x →x 0y →y 0
f (x ,y )=lim s →0t →0
f (x 0+s ,y 0+t ).二元函数极限的归结原则是判定二元函数极限不存在的主要依据,然而,关于路径的选取,却没有详细论述,本文给出了一些结果.
命题:设f (x ,y )在区域D 上有定义,(0,0)是D 的一个聚点,y =y 1(x ),y =y 2(x )是D 中两条不同的连续曲线,满足lim x →0y i (x )=0(i =1,2)如果lim x →0f (x ,y i (x ))=A i ,而A 1≠A 2;或者对其一个i (i =1或2),lim x →0f (x ,y i (x ))不存在,则lim x →0y →0
f (x ,y )不存在.这个命题给出了判定二元函数极限不存在的基本方法,显然曲线路径y =y (x )的选取完全取决于函数f (x ,y )本身的结构.下面结合某些函数类型说明路径的选取方法.
1　零次齐次函数选取直线路径y =kx
设f (x ,y )是不恒为常数的零次齐次函数,即f (tx ,ty )≡t 0f (x ,y ),且f (x ,y ) C.令t =1x
,则有f (x ,y )=f (1,
y x ) C ∴lim x →0y →kx f (x ,y )=lim x →0y =kx →0f (1,y x
)=f (1,k ) C 所以,对于不恒为常数的零次齐次函数的极限问题,直线路径y =kx 是适用的.
例1:f (x ,y )=xy/(x 2+y 2)为零次齐次函数.
lim x →0y =kx →0
xy x 2+y 2=lim x →0x ・kx/(x 2+k 2x 2)=k/(k 2+1)此结果因k 而异　∴lim x →0y =→0xy/(x 2+y 2)不存在.
2　广义零次齐次函数选取曲线路径y =l x β
α如果函数f (x ,y )满足f (t αx ,t βy )≡t 0f (x ,y )(α,β>0)称f (x ,y )为广义零次齐次函数.当t =x -1α时有f (x ,y )≡f (1,yx -βα)当(x ,y )沿曲线路径y =l x βα(x >0)超于(0,0)时
lim x →0y =lx βα→0f (x ,y )=lim x →0y =lx β
α→0f (1,yx -βα
)=f (1,l )
其结果是l 的函数.故对于不恒为常数的广义零次齐次函数可以选取曲线路径y =l x βα.例2:f (x ,y )=x 4y 4/(x 4+x 2)3
第17卷第3期 咸宁师专学报(自然科学版) 1997年8月
①收稿日期:1997—04—11
∵f (t x ,t 2y )≡t 0f (x ,y )
∴可取曲线路径y =l x 2
于是lim x →0y =lx 2→0x 4y 4/(x 4+y 2)3=lim x →0
x 4(l x 2)4/[x 4+(l x 2)2]3=l 4/(l 2+1)3
∴lim x →0
y →0
x 4y 4/(x 4+y 2)3不存在.3　λ次齐次函数(λ≠0)曲线路径的选取引入极坐标变换
x =ρcos θy =ρsin θ(　(0≤ρ<+∞,-π<θ≤π)则f (x ,y )=f (ρcos θ,ρsin θ)≡ρλf (cos θ,sin θ),常常可以很简便地选取适用路径ρ=ρ(θ).例3:讨论当(x ,y )→(0,0)时,f (x ,y )=(2x 3+x 2y +5xy 2-2y 3)y 2
33x 13(x 2+y 2)32的极限是否存在.
显然f (x ,y )是13次齐次函数.f (ρcos θ,ρsin θ)=ρ13sin 23θ3cos 13θ(2cos 3θ+cos 2θsin θ+5cos θsin 2θ-2sin 3θ)容易看出,若取ρ=ρ(θ)=cos θ,ρ(±π2)=0,有lim θ→
π2
ρ=cos θ→0f (ρcos θ,ρsin θ)=-23而ρ=cos θ正是圆(x -12)2+y 2=(12
)2,亦即:y =±x -x 2(0≤x ≤1)
而取y =kx 时lim x →0y =kx →0f (x ,y )=lim x →0
f (x ,kx )=0∴f (x ,y )的极限不存在.
4　根据定义域的边界线,选取曲线路径
设函数f (x ,y )=x m y n /(y -ψ(x ))
不妨设ψ(0)=0,ψ′+(0)存在,且lim x →0+ψ(x )x r
=c ≠0,(r >0);又m ≥1,n 是正整数.显然(0,0)位于f (x ,y )定义域D 的边界线y =ψ(x )上.
对于这类函数,选取曲线路径y =ψ(x )+lx α其中,x >0,l >0,α>α0=max {1,r}.显然,y ′+(0)=ψ′+(0),即沿D 的边界线y =ψ(x )在(0,0)点的切线方向选取曲线路径.
事实上　∵lim x →0+
y =ψ(x )+lx 2→0f (x ,y )=lim x →0+x m [ψ(x )+lx α]n lx
α
=0 α0<α<m +nr
c n
l α=m +nr /∴lim x →0y →0
x m y m /(y -ψ(x ))不存在.例4　考查函数f (x ,y )=(x 3+y 3)/(x 2+y )在点(0,0)的极限.选取曲线路径y =ψ(x )=-x 2+lx 3(l >0)
则有lim x →0
y =-x 2+lx 3→0(x 3+y 3)/(x 2+y )=lim x →0x 3+(-x 2+lx 3)3/lx 3=1l 可见lim x →0y →0
(x 3+y 3)/(x 2+y )不存在.参　考　文　献
1　[美]W ・弗列明著,庄业栋译.多元函数(上、下册).北京:人民教育出版社,19812　[苏]B ・A 卓里奇著,蒋铎等译.数学分析.北京:高等教育出版社,19883　何琛,史济怀,徐森林.数学分析.北京:高等教育出版社,19834　华东师范大学数学系编.数学分析(下册).北京:高等教育出版社.5　薛宗慈等编.数学分析习作课讲义(下册).北京:北京师范大学出版社.91第3期 桂咏新 二元函数极限不存在的判别。