数列求和专题 方法归纳方法1：分组转化法求和1．已知{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n ＋2n－1，则S n ＝________.2．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 方法2裂项相消法求和3.设数列{}a n 满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N*)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 前10项的和为______．4. S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. ①求{a n }的通项公式； ②设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．5．若已知数列的前四项是112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，则数列的前n 项和为________． 6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. （1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .7．已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝1，a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)． (1)设b n ＝1a n ，求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和S n .方法3：错位相减法求和8．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列(b n ＞0)，且a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n 为数列{a n b n }的前n 项和，求T n .9．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；10.已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -项和()n *∈N .的前n4.数列与不等式的交汇问题11．设各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *. (1)求a 1的值； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明对一切正整数n ，有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a ++⋅⋅⋅<+++。

12．已知等比数列{a n }是递增数列，且a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝1， 且b n ＋1＝2b n ＋2a n (n ∈N*)． (1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 是等差数列；(2)若对任意n ∈N *，不等式(n ＋2)b n ＋1≥λb n 总成立，求实数λ的最大值．数列求和专题 方法归纳参考答案1.【解析】 由题意知a n ＝3n ＋2n －1，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝3×1＋21－1＋3×2＋22－1＋…＋3n ＋2n －1 ＝3×(1＋2＋3＋…＋n )＋21＋22＋…＋2n －n ＝3×?1＋n ?×n 2＋2?1－2n ?1－2－n ＝3n 2＋n2＋2n ＋1－2.2.解： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＋d ＝4，?a 1＋3d ?＋?a 1＋6d ?＝15，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2?1－210?1－2＋?1＋10?×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.3.【解析】 (1)由题意有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)．以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝?n －1??2＋n ?2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．∴1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.∴S 10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋110－111 ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.4.解：①由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，(1)可知a2n＋1＋2a n＋1＝4S n＋1＋3.(2)由(2)－(1)，得a2n＋1－a2n＋2(a n＋1－a n)＝4a n＋1，即2(a n＋1＋a n)＝a2n＋1－a2n＝(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)．由a n>0，得a n＋1－a n＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n＝2n＋1.②由a n＝2n＋1 可知b n＝1anan＋1＝1?2n＋1??2n＋3?＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1－12n＋3.设数列{b n}的前n项和为T n，则T n ＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1－12n＋3＝n3?2n＋3?.5.【解析】由前四项知数列{a n}的通项公式为a n＝1n2＋2n，由1n2＋2n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋2知，S n ＝a1＋a2＋a3＋…＋a n－1＋a n＝12⎣⎢⎡1－13＋12－14＋13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－2－1n⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＋1＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12－1n＋1－1n＋2＝34－2n＋32?n＋1??n＋2?.6.【解】 (1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1?13－3n ??10－3n ?＝13⎝⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n . 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10?10－3n ?.7.解：(1)证明：因为a n ＋1a n ＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)，所以a n ＋1＝a n a n ＋1.因为b n ＝1a n，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1a n＝a n ＋1a n －1a n ＝1. 又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项、1为公差的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝n ，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n，所以a nn ＋1＝1n ?n ＋1?＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.8.解： (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由已知q ＞0，∵a 1＝b 1＝2，a 3＋b 3＝16，S 4＋b 3＝34.∴{ 2＋2d ＋2q 2＝16，8＋6d ＋2q 2＝34?{ d ＝3，q ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n .(2)T n ＝2×2＋5×22＋…＋(3n －1)×2n ，2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －1)×2n ＋1，两式相减得－T n ＝4＋3×22＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝4＋12?1－2n －1?1－2－(3n －1)×2n ＋1＝－8－(3n －4)2n ＋1. ∴T n ＝(3n －4)2n ＋1＋8. 9.解： (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7， 有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n ?n －1?2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n，a n b n ＝n2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝2－12n －1－n2n ＝2n ＋1－n －22n 所以T n ＝2n ＋1－n －22n.10.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2n n b =.由3412b a a =-，可得138d a -= ①.由114=11S b ，可得1516a d += ②， 联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =. （2）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 11.解: (1)令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去)．(2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *得[S n －(n 2＋n )](S n ＋3)＝0.又已知各项均为正数，故S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝2也满足上式， 所以a n ＝2n ，n ∈N *.(3)证明k ∈N *,4k 2＋2k －(3k 2＋3k )＝k 2－k ＝k (k －1)≥0， ∴4k 2＋2k ≥3k 2＋3k ，∴1a k ?a k ＋1?＝12k ?2k ＋1?＝14k 2＋2k ≤13k 2＋3k ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1. ∴1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<13.∴不等式成立． 12.解：(1)证明：设{a n }的公比为q ，因为a 2a 5＝a 3a 4＝32，a 3＋a 4＝12，且{a n }是递增数列，所以a 3＝4，a 4＝8，所以q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1.因为b n ＋1＝2b n ＋2a n ，所以b n ＋1a n ＋1＝b na n＋1， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n a n 是以b 1a 1＝1为首项、1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n ×2n －1，所以λ≤?n ＋2?b n ＋1b n＝?n ＋2??n ＋1?2n n ·2n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋2n ＋3. 因为n ∈N *，易知当n ＝1或2时，2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋2n ＋3取得最小值12，所以λ的最大值为12.。