数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(211+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n 5.2
1
3)]1(21[+==∑=n n k S n
k n
[例1] 已知3
log 1log 23-=
x ,求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和. 解:由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x
由等比数列求和公式得 n
n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 (利用常用公式)
=x x x n
--1)1(=
2
11)
211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2
1
++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++=
n n S n S n f =64
342++n n n
=
n
n 64341+
+=
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当
8
8-
n ,即n =8时,501)(max =n f
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和:1
32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解:由题可知,{1
)12(--n x
n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积
设n
n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② (设制错位)
①-②得 n
n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- (错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+
练习.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,
2232n
n
前n 项的和. 三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就能够得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求证:n
n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++
证明: 设n
n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①
把①式右边倒转过来得
113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- (反序)
又由m
n n m n C C -=可得
n
n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②
①+②得 n
n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- (反序相加) ∴ n
n n S 2)1(⋅+=
练习求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
例. 求数列的前n 项和:231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ,… 解:设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n (分组) 当a =1时,2)13(n n n S n -+==2
)13(n
n + (分组求和)
当1≠a 时,2)13(1111n n a
a S n n -+--
==2)13(11n n a a a n -+--- 练习. 求数列{n(2n+1)}的前n 项和.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1))()1(n f n f a n -+= (2)1
1
1)1(1+-=+=
n n n n a n
(3))1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=
n n n n n a n (4)])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(5) n
n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2
)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 [例9] 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,321,
2
11n n 的前n 项和.
解:设n n n n a n -+=++=
111
(裂项)
则 1
13
212
11
+++⋅⋅⋅+++
+=
n n S n (裂项求和)
=)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- =11-+n
练习.在数列{a n }中,1
1211++⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ,又12+⋅=n n n a a b ,求数列{b n }的前n 项的和.
六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,所以,在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S n .
[例13] 数列{a n }:n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,求S 2002.
解:设S 2002=2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a …… 2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a (找特殊性质项) ∴ S 2002=2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ (合并求和) =)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
=2002200120001999a a a a +++=46362616+++++++k k k k a a a a =5
练习 在各项均为正数的等比数列中,若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 练习 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征实行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解:因为)110(91
99999111111
1
-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k
个个 (找通项及特征) ∴ 1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ =
)110(91
)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n (分组求和) =
)1111(91)10101010(911
321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ =9
110)110(1091n
n ---⋅
=
)91010(81
1
1n n --+。