《立体几何初步》练习题一、 选择题１、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ）A 、垂直B 、平行 Ｃ、相交不垂直 D 、不确定 2. 在正方体1111ABCD A BCD -中, 与1A C 垂直的是（ )A. BD Ｂ． CD C. BC Ｄ. 1CC３、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( )Ａ．βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ⊂α C.αβ⊆⊥m n n m ,,// D ．βα⊥⊥n m n m ,,//4、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行； Ｂ．直线a//α，a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a/／β,b ／/αD.α内的任何直线都与β平行 ５、设ｍ、n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//，m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α，则m n // ④若αγ⊥,βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是( ) A ．①和②ﻩ B.②和③ﻩ C.③和④ D.①和④6.点Ｐ为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC,垂足为O ，若PA=PB=PC,则点O 是ΔＡBC 的( ） Ａ．内心 B.外心 Ｃ．重心 D ．垂心 ７． 若l 、ｍ、n 是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ )A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂,则//l n Ｂ.若,l αβα⊥⊂,则l β⊥ C ． 若,//l l αβ⊥,则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥,则//l m ８. 已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是（ )①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面． Ａ.3 B ．2 C ．１ Ｄ.０9．(２013浙江卷)设m.ｎ是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面,( )A.若m ∥α,n ∥α，则m ∥ｎﻩＢ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C.若m ∥ｎ，m ⊥α,则n ⊥αD ．若m ∥α,α⊥β，则ｍ⊥β10.(２01３广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是ﻩ（ ）A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβ C.若l α⊥,//l β,则//αβ D ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥二、填空题11、在棱长为2的正方体ABCD —Ａ1B 1Ｃ1D 1中,E ，F 分别是棱ＡB,ＢC 中点，则三棱锥B —B 1E Ｆ的体积为 .１2．对于空间四边形ABCD ，给出下列四个命题：①若ＡＢ=ＡC,BD=ＣD 则ＢＣ⊥AD;②若AB=ＣＤ,ＡC=BD 则BC ⊥AD;③若AB ⊥AC,B Ｄ⊥CD 则B Ｃ⊥AD;④若A Ｂ⊥ＣD, ＢD ⊥AC 则B Ｃ⊥AD;其中真命题序号是 ．13. 已知直线ｂ/／平面α，平面α//平面β，则直线b 与β的位置关系为 .１4. 如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=︒90，ＰA ⊥平面AB Ｃ,ABCP此图形中有个直角三角形三、解答题15.如图,PA⊥平面ABC,平面PAＢ⊥平面ＰBC 求证:AB⊥BC16.如图，ABCD和ABEF都是正方形,M AC N FB∈∈，，且AM FN=。

求证：//MN BCE平面。

１7.如图，P为ABC∆所在平面外一点，⊥PA平面ABC,︒=∠90ABC，PBAE⊥于E，PCAF⊥于F 求证：（1）⊥BC平面PAB；(2)平面AEF⊥平面PBC；(3)⊥PC EF.18、如图,AＢＣＤ是正方形，O是正方形的中心，PＯ⊥底面PABCABCDEF M NFEPCBAABCD,E 是PC 的中点。

求证:(１)PA ∥平面BDE ；(2)平面PA Ｃ⊥平面BD Ｅ.[来源：Zx ｘｋ．Com]19、如图,长方体1111D C B A ABCD -中，1==AD AB ,21=AA ，点P为1DD 的中点。

求证：（1）直线1BD ∥平面PAC ；(2）平面PAC ⊥平面1BDD ; (３)直线1PB ⊥平面PAC .20.如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱AB Ｃ—A 1B 1C 1中AC=３，AB=5，14,4,.CB AA D AB ==点是的中点(Ⅰ）求证:1BC AC ⊥(Ⅱ)求证:ＡC 1/／平面ＣＤＢ１； （Ⅲ)求三棱锥A 1—Ｂ1CD 的体积. ﻩ21.如图,在几何体ABCDE 中,ＡＢ = AD ＝ 2，AB 丄AD,AEPD 1C 1B 1A 1DCBA丄平面ＡB Ｄ,M 为线段ＢD 的中点， MC//AE,且AE ＝ MC ＝2 ﻩ(I）求证:平面ＢCD丄平面ＣDE；（ＩＩ）若Ｎ为线段DE 的中点, 求证:平面AMN ／/平面BEC.2２.（201３年北京卷)如图，在四棱锥P ABCD -中//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和P Ｃ的中点, 求证: (1） PA ⊥底面ABCD ; （2) //BE 平面PAD ；(3)平面BEF ⊥平面PCD23.(2０13年山东卷）如图,四棱锥P ABCD-中,,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为,,,,PB AB BC PD PC 的中点求证: (Ⅰ) CE PAD ∥平面;(Ⅱ）求证:EFG EMN平面平面⊥24．（2０１3年大纲卷）如图,四棱锥P ABCD-中，90∠=∠=，2ABC BAD=BC AD 与都是边长为2的等边三角形．PAB PAD∆∆(I)证明:;⊥PB CD(ＩＩ)求点.到平面的距离A PCD参考答案选择题：ＡＡCDA,ＢCCCB 填空题：1１、1312、①④ 13、//b b ββ⊂或 14、4 解答题:１5、作,AD PB ⊥ 1６、//,//MG AB NH EF 作交CB 于G 交BE 于H,连接GH,证明四边形MGHN 是平行四边形１７、（2）证AE PBC ⊥平面（3)证PC AEF ⊥平面 18、(1）连接OE ,//OE PA ,（2）证BD PAC ⊥平面 19、(1)设ACBD O =,连接OP ,1//OP BD ,(2)证1AC BDD ⊥平面（３） 由1AC BDD ⊥平面得1AC B P ⊥,计算可以得到1190,B PO B P PO ∠=⊥ 2０、（1)11AC BB C C ⊥平面（２) (1)设11B C BC O =，连接OD ，1//OD AC（3）11118A B CD C A DB V V --==,２1、(1)计算得90,,90,,BCD BC CD BCE BC CE ∠=⊥∠=⊥BC CDE ⊥平面 （2) //,//AM EC MN BE２2、 (I)因为平面ＰAD ⊥平面A ＢCD,且PA 垂直于两平面的交线AD所以P Ａ垂直底面ＡBCD.(II ）因为A Ｂ∥CD,CD=2AB ，E 为C Ｄ的中点 所以AB ∥D Ｅ,且AB=ＤＥ 所以ABED 为平行四边形，所以BE ∥AD,又因为ＢE ⊄平面PAD ，A Ｄ⊂平面PAD所以ＢE ∥平面PA Ｄ．(II Ｉ)因为ＡB ⊥ＡD,而且ABED 为平行四边形 所以B Ｅ⊥C Ｄ,AD ⊥CD ，由(I ）知ＰA ⊥底面ＡＢＣD, 所以P Ａ⊥ＣD,所以CD ⊥平面P ＡD所以ＣD ⊥P Ｄ,因为Ｅ和F 分别是CD 和ＰC 的中点所以ＰＤ∥EF ，所以CD ⊥EF,所以CD ⊥平面BEF,所以平面BEF ⊥平面PCD. 23、(１)取PA 中点H ，连接EH 、DH,证明四边形CEHD 是平行四边形或者连接ＣF ，证明//ECF PAD 平面平面(２）证,AB EFG ⊥平面////,MN CD AB 所以,MN EFG ⊥平面24、(Ⅰ）证明:取ＢＣ的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O ． 连结OA,O Ｂ,OD,OE ． 由PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形知P Ａ=PB=PD ， 所以ＯＡ=ＯB=OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE BD ⊥,从而PB OE ⊥． 因为O 是BD 的中点，E 是ＢC 的中点， 所以OE//C Ｄ.因此,PB CD ⊥. (Ⅱ)解:取P Ｄ的中点F,连结O Ｆ,则ＯF//PB. 由(Ⅰ)知,PB CD ⊥,故OF CD ⊥. 又122OD BD ==222OP PD OD -=故POD ∆为等腰三角形,因此,OF PD ⊥． 又PD CD D =,所以OF ⊥平面ＰC Ｄ.因为ＡE//CD,CD ⊂平面PCD,AE ⊄平面ＰCD,所以A Ｅ/／平面ＰC Ｄ. 因此,O 到平面PCD 的距离ＯＦ就是Ａ到平面ＰCD 的距离,而112OF PB ==, 所以Ａ至平面PCD 的距离为１.。