立体几何初步》练习题
一、 选择题
1、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（
）
A 、垂直
B 、平行
C 、相交不垂直
D 、不确定
2.在正方体ABCD ARGU 中,与AC 垂直的是（ ）
A. BD
B. CD
C. BC
D. CC 1
3、线 m,n 和平面 、
，能得出
的一个条件是 （ ）
A. m n,m//
,n// B.m 丄 n, A = m,n C.m//n,n
,m
D.m//n,m ,n
4、
平面 与平面 平行的条件可以是（ ）
A.
内有无穷多条直线与 平行； B.直线a// ,a//
C.直线a ，直线b
，且a// ,b 〃
D.内的任何直线都与 平行
5、 设m 、n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
其中正确命题的序号是（）
7. 若I 、m 、n 是互不相同的空间直线，a 、B 是不重合的平面,
则下列命题中为真命题的是（ ） A •若 // ,l ,n ，则 l//n B •若 ,1 ，则 I
①若 m ， n/ / ，则 m n ②若 / / // ， m ，则 m
③若 m/ / ， n/ / ，则 m//n
④若
，则 //
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ①和④
6•点P 为A ABC 所在平面外一点，P0丄平面ABC , 垂足为0若PA=PB=PC ,
则点0是A ABC 的（ ） A. 内心
B.外心
C.重心
D.垂心
C.若 I ,1〃 ，则 D .若丨 n, m n ，则 I // m
8.
已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是（
）
① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面
A.3
B.2
C.1
D.0
9. （2013浙江卷）设m.n 是两条不同的直线,a .是两个不同的平面，
（
）
—B 1EF 的体积为 __________
12. 对于空间四边形 ABCD ，给出下列四个命题：①若 AB=AC ，BD=CD 则BC 丄AD ;②若 AB=CD ，AC=BD 贝U BC 丄AD ;③若 AB 丄AC ，BD 丄CD 贝U BC 丄AD ;④若 AB 丄CD ， BD
丄AC 则BC 丄AD ;其中真命题序号是 ____________ 13. 已知直线b 〃平面，平面//平面，则直线b 与 的位置关系 为 ___________________
14. 如图，△ ABC 是直角三角形， ACB= 90，PA 平面 ABC ，此 图形中有一个直角三角形
A .若 m // a a 贝 U m // n
a
B. 若 m // a ,m/ B 则 all B D . 若 m // a ,lx B 贝U m
B
10. （2013
广东卷）设I 为直线,
是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A .若 I// ,l// ，则 //
B .若 I
C.
若 I ,I // ，则 //
D .若
二、填空题
,I ，则 // ,I//，则 I
E ，
F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B
、解答题
15. 如图，PA 丄平面 ABC ，平面PAB 丄平面PBC 16. 如图， ABCD 和ABEF 都是正方形, AM FN 。
求证：MN //平面BCE 。
17. 如图，P 为 ABC 所在平面外一点，PA 平面ABC ，
ABC 90，AE PB 于 E ，AF PC 于 F 18、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面 ABCD ，E 是PC 的中点。
求证：（1）
BC 平面 P AB ; （2） 平面 AEF
平面
PBC ;
（3） PC
EF .
求证:
M AC , N FB ，且
A
E
求证：(1) PA//平面BDE ; (2)平面PAC 平面BDE.[来源:]
19、如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB AD 1, AA, 2 , 点P为
DD1的中点。
求证：
(1)直线BD1 //平面PAC ；( 2)平面PAC 平面BDD1 ；
(3)直线PB1平面PAC .
20 .如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC —A1B1C1中AC=3 ,
AB=5 , CB 4,AA1 4,点D是AB的中点.
(I)求证：AC BC1(H)求证：AC 1//平面CDB1；
(川)求三棱锥A1 —B1CD的体积.
21 .如图，在几何体ABCDE 中，AB = AD = 2 , AB 丄AD,AE
丄平面ABD,M 为线段BD的中点,
MC//AE,且AE = MC =
(I ) 求证平面BCD 丄平面 C D E (II)若N为线段DE的中点,求证:平面AMN//平面BEC .
22. (2013年北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中
AB // CD , AB AD, CD 2AB，平面PAD 底面
ABCD ,PA AD ,E和F分别是CD和PC的中点, 求证：
⑴ PA 底面ABCD; (2) BE//平面PAD ;
(3)平面BEF 平面PCD
23 . ( 2013年山东卷)如图,四棱锥P ABCD
中，AB AC, AB PA , AB// CD, AB 2CD
E, F,G,M,N 分别为PB,AB,BC,PD,PC 的中点求证：(I ) CE/平面PAD •
(II) 求证：平面EFG 平面EMN
C P
C
24. (2013 年大纲卷)如图，四棱锥P ABCD中，ABC BAD 90°, BC 2AD PAB与PAD都是边长为2的等边三角形.
⑴证明:PB CD;
(II)求点A到平面PCD的距离.
参考答案
选择题： AACDA,BCCCB
填空题： 1
11、
12、①④ 13、b// 或 b 14、4
3
解答题:
15、作 AD PB,
作MG//AB 交CBFGNH //EF 交BE 于H, 16、
连接GH 证明四边形MGH 是平行四边形 17、 (2)证 AE 平面 PBC (3)证 PC 平面 AEF 18、 (1)连接 OE,OE//PA ,(2)证 BD 平面 PAC
19、 (1)设 ACI BD 0,连接 OP ,0P 〃 BD j ,(2)证 AC 平面 BDD 1 ⑶由AC 平面BDD 1得AC B 1P ,计算可以得到 BfO 90°弋尸 PO 20、 ( 1)AC 平面 BB 1C 1C (2) (1)设 B 1C I BC 1 O ,连接 OD,OD 〃AG
21、( 1)计算得 BCD 90o
, BC CD, BCE 90o
, BC CE, BC 平面 CDE (2) AM // EC, MN // BE
22、 (I)因为平面PAD 丄平面ABCD,且PA 垂直于两平面的交线 AD
所以PA 垂直底面ABCD.
(II)因为 AB // CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点 所以 AB // DE,且 AB=DE 所以ABED 为平行四边形，
所以BE // AD,又因为BE 平面PAD,AD 平面PAD 所以BE //平面PAD.
(III) 因为AB 丄AD,而且ABED 为平行四边形
⑶
V
A
0CD
V
C A 1DB 1
所以BE丄CD,AD丄CD,由(I)知PA丄底面ABCD,
所以PA丄CD,所以CD丄平面PAD
所以CD丄PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD // EF所以CD丄EF所以CD丄平面BEF,所以平面BEF丄平面PCD.
23、(1)取PA中点H,连接EH DH,证明四边形CEH是平行四边形
或者连接CF,证明平面ECF //平面PAD
(2)证AB 平面EFG, MN //CD//AB,所以MN 平面EFG,
24、
(I )证明:取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.
过P作P0丄平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.
由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,
所以OA=OB=OD, 即点O 为正方形ABED 对角线的交点, 故OE BD ,从而PB OE .
因为O是BD的中点,E是BC的中点，
所以OE//CD.因此,PB CD.
(n )解:取PD的中点F,连结OF则OF//PB.
由（I ）知,PB CD,故OF CD .
[ _ ‘ 2_____________________________________ 2 —
又OD BD 2 ,OP . PD OD 2,
2
故POD为等腰三角形，因此,0F PD .
又PDI CD D所以OF 平面PCD.
因为AE//CD, CD 平面PCD, AE 平面PCD,所以AE//平面PCD.
因此,0到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF 所以A至平面PCD的距离为1.-PB 1, 2。