1.集合讲义集合一．集合的概念：集合没有确切定义，是一个基本概念。
对其描述：某些具有共同属性的对象集在一起就成为一个集合。
符号表示为{}，表示的意思为全体。
这些对象我们称之为元素。
集合通常用大写字母A、B、S……表示，元素通常用小写字母a、b、c……表示。
【典例分析】：1.下列各组对象中，不能组成集合的是（）A 所有的正六边形 B《数学》必修1中的所有习题C 所有的数学容易题D 所有的有理数2.由下列对象组成的集体属于集合的是（）（1）不超过 的正整数；（2）高一数学课本中所有的难题；（3）中国的大城市（4）平方后等于自身的数；（5）某校高一（2）班中考成绩在500分以上的学生.A.（1）（2）（3）B.（3）（4）（5）C.（1）（4）（5）D. （1）（2）（4）二．元素的特性a、确定性（有一个确定的衡量标准）b、互异性（集合里的元素都不一样）c、无序性（没有顺序）（确定性）例题1：下列各组对象能否构成一个集合（1） 著名的数学家（2） 某校2006年在校的所有高个子同学 （3） 不超过10的非负数（4） 方程240x -=在实数范围内的解 （5） 2的近似值的全体例题2：下列各对象不能够成集合的是（ ）A 某校大于50岁的教师B 某校30岁的教师C 某校的年轻教师D 某校的女教师 （互异性）例题3：已知集合S 中的元素是a,b,c,其中a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例题4：若-3∈{a-3,2a-1,a 2+4},求实数a 的值，并求此时的实数集。
（集合三要素）例题5:a 、b ∈R,集合{1，a+b ，a}={0，ab，b}，则b-a= 三．几种常见集合自然数集：N ；正整数集：N*或N+； 整 数 集：Z ；有理数集：Q ；实 数 集：R 。
（应用，三角函数，数列）四．集合的分类有限集：含有有限个元素的集合； 无限集：含有无限个元素的集合；空 集：不包含任何元素的集合叫做空集，用∅表示；例1.下面集合是有限集还是无限集？ （1）不超过10的非负偶数的集合； （2）大于10的所有自然数组成的集合； （3）方程x 2-4=0的解集（4）在平面上到两定点A 、B 距离相等的点的集合五．元素与集合之间的关系与运算集合和元素之间的关系是属于（∈）和不属于（∉） 【典例分析】： 1 用符号∈或∉填空：（1）0__N*； 2__Z ； (-1)0__N*；（2）{x x <； {}0x x >； 2+5__{x|x≤2+3}； （3）3____2{x|x=n +1,n N*}∈； 5____2{x|x=n +1,n N*}∈ （4）(-1,1) _____{y|y=x 2}； （-1,1）____{（x ，y ）|y=x 2}2 非空集合M 中的元素只能是1，2，3，4，5中的某些数，若a ∈M,则（6-a ）∈M,试求符合条件的M 的个数。
3 设A={a},则下列各式中正确的是（ ）A.0∈AB.a ∉AC.a ∈AD.a=A4 方程组⎩⎨⎧=-=+9,1y x y x 的解集是（ ）A.(5,4)B.{5,-4}C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}5 已知集合M={m|m=a+2b,a,b ∈Q},则下列元素中属于集合M 的元素个数是（ ） ○1m=1+2π；○2m=1227+； ○3m=221+；○4m=32-+32+ A.0个 B.1个 C.2个D.3个六．集合的表示方法1、列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法；注 意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
例题1：设集合{}k k k A 2,2-=，求实数k 的取值范围。
例题2：3.含有三个实数的集合可表示为,,1y x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{},,0x x y +，则53x y -的值为（ ）A.0B.1C.-1D.1± 2、描述法：有以下两种描述方式1）代号描述：例 方程x ²-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x ²-3x+2=0}。
x 是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符号的条件。
（代号不一样，所表示含义也不一样）例题1：已知集合(){},0A x y y =≤，集合()(){}22,1,B x y x y a =+-≤若A B B =，则a 的取值范围是（ ）A.[)2,+∞B.(],2-∞-C.[]2,2-D.(][),22,-∞-+∞例题2：.已知集合A={}2640,x R ax x a R ∈-+=∈,若A 中的元素至多有一个,求实数a 的取值范围2）文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。
例 {大于2小于5的整数}；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就是说要判断元素到底是什么。
3、区间表示法：数轴上得一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思。
例 （2,3），[2,3],(2,3]，[2,3）……例题1．集合{}{}260,22,A x R x x B x R x =∈--<=∈-<则______.A B = 例题2．设{}{}2230,,S x x x P x x q =--<=<若P S ⊆，则q 的取值范围是（ ）4、图像表示法：数轴、坐标系、维恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。
数轴表示法：常与区间法表示同时使用 坐标系表示法：例题1.已知集合(){},30A x y y x =≤，集合()(){}22,1,B x y x y a =+-≤若A B B =，则a 的取值范围是（ ）A.[)2,+∞B.(],2-∞-C.[]2,2-D.(][),22,-∞-+∞题型 1:表示集合2：画图（a 、常规(标数) b 、创新）常规：例题2：设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1⋃S 2⋃S 3=I ,则下面论断正确的是（ ）A.C I S 1⋃（S 2⋃S 3）=∅B.S 1⊆(C I S 2⋂C I S 3)C.C I S 1⋂C I S 2⋂C I S 3 =∅D.S 1⊆(C I S 2⋃C I S 3)例题3：设集合M,N 是非空集合，且M ⊆N ⊆U （U 为全集），则下列集合表示空集的是（ ） A.()U MC N B.()U C M NC. ()U C M ()U C N D.M N例题4：全集S={1、2、3、4、5、6、7、8}，A⋂B={1、2}，A⋂C S B={5},C S A⋂C S B={6、7}，求B创新：例题5：已知集合A,B属于全集I，如果规定集合A-B表示在集合A中不在集合B中，那么B-[A-(A-B)]= __________。
七．集合与集合之间的关系与运算1、子集与真子集：1 已知集合M满足{1，2}⊂M⊆{1,2,3,4,5},写出这样的集合M,有多少个M?2 已知集合A={x|x2-2x-3=0}；B={x|ax-1=0},若B⊂A,则a的值为？3 已知A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1}，若B⊂A,求实数m的取值范围。
4 下列命题：○1空集没有子集；○2任何集合至少有两个子集；○3空集是任何集合的真子集；○4若∅⊂A,则A≠∅,其中正确的命题有（）A.0个B.1个C. 2个D.3个5 已知{x|x2=1}⊂A⊆{-1,0,1,2},则符合条件的集合A的个数（）A. 3B. 4C. 6D. 86 如图所示，下列集合关系正确的有（）(1)A⊂B (2)A⊂C (3)B⊂C (4)B⊂DA.1个B.2个C.3个D.4个7 已知集合A={x|1<ax<2},B={x||x|<1},满足A⊆B,求实数a的范围。
8 若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},B⊂A,求m的值。
9 设集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B⊆A,求实数a的值。
10 已知A={x|x<-2或x>3},B={x|4x+m<0},当A⊇B时，求m的取值范围.11 已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a的值，使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由；(2)若A⊆B成立，求出对应的实数对（a,b）.12 下列各式正确的个数是（）○1{0}∈{0，1，2} ○2{0，1，2}⊆{2，1，0} ○3∅⊆{0，1，2} ○4∅={0}；○5{0，1}={（0，1）}；○60={0}.A.1个B.2个C.3个D.4个13 已知A={0,1},B={x|x⊆A},则A与B之间的关系是（）A.A⊆BB.A⊂BC.B⊂AD.A∈B14 已知集合A={x|-2k+6<x<k2-2},B={x|-k<x<k}.若A⊂B,则实数k的取值范围_____.15 已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且A B，则实数a的取值范围是_____.2、集合相等1 设集合A={x-y,x+y,,xy},B={x2+y2,x2-y2,0},且A=B,试求实数x和y的值及集合A、B.2 若A={x|x=4n+1,n∈Z},B={x|x=4n-3,n∈Z},C={x|x=8n+1,n∈Z},则A,B,C之间的关系是（）A.C⊂B⊂AB.A⊂B⊂CC.C⊂A=BD.A=B=C3、集合关系与其特征性质之间的关系1 判断下列集合A与B的关系：（1）A={x|x>-2},B={x|x>-1}；（2） A={x|x 是4的约数}，B={x|x 是8的约数}；（3） A={x|x 是正三角形}，B={x|x 是有一个角为60°的等腰三角形} （4） A={x|x=2n,n Z ∈} ,B={x|x=4n,n ∈Z}； （5） A={x|x 2-x=0},B={x|x=2(-1)1n+}2 设集合M={x|x=2k +41,k ∈Z},N={x|x=4k +21,k ∈Z},则（ ） A.M=N B.M ⊂N C.M ⊃ND.M ⋂N=∅4、正确判断元素与集合、集合与集合之间的关系1 以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来.○10与{0}；○20与∅；○3∅与{0}；○4{0，1}与{（0，1）}；○5{（b,a ）}与{（a,b ）}5、有限集合的子集问题（注意空集，空集是任意集合的子集） 1 给出的下列命题，正确的个数是（ ）○1空集没有子集 ○2空集是任何一个集合的真子集 ○3任何一个集合必有两个或两个以上的子集 ○4如果集合B ⊆A,那么若元素不属于A,则必不属于B. A.0B.1C.2D.36、交集的定义1 设全集U=Z,将下列集合A={x|x=3k,k ∈Z}、B={y|y=3k+1,k ∈Z} 、C={z|z=3k+2,k ∈Z}、D={w|w=6k+1,k ∈Z}的符号语言转化为文字语言，并求A ⋂B ,A ⋂C,B ⋂C,B ⋂D.2 已知集合M={1,2,a 3-a},N={0,a+1,3-a 2},且M ⋂N={0,1},则实数a 的解集是（）A .{0}B.{0,1}C.{1}D.∅3 设集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|0≤x ≤4},则A ⋂B=( )A.{x|0≤x ≤2}B.{x|1≤x ≤2}C.{x|0≤x ≤4}D.{x|1≤x ≤4}4 已知集合M={1,2,a 3-a},N={0,a+1,3-a 2},且M ⋂N={0,1},则由实数a 所有取值组成的集合是（）A.{0}B.{0,1}C.{1}D.∅7、并集的定义1 设A={x|2x 2-px+q=0},B={x|6x 2+(p+2)x+5+q=0},若A ⋂B={21},则A ⋃B=( ). A.{21,31,-4}B.{21,-4} C.{21,31}D.{21}2 设集合A={1,2},则满足A ⋃B={1,2,3}的集合B 的个数（ ）A.1B.3C.4D.83 满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ）A.4B.3C.2D.14 若三个方程x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解，试求实数a 的取值范围.5 设集合{|a+1|，3，5}，B{2a+1,a 2+2a,a 2+2a-1},当A ⋂B={2,3}时，求A ⋃B 8、交集与并集的运算性质1 设集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|2x 2-ax+2=0},若A ⋃B=A,求实数a 的值.2 若集合P={1,2,3,m},Q={2m ,3},满足P ⋂Q=Q,求m 的值. 9、全集与补集1 若集合U={小于10的正整数}，A ⊆U,B ⊆U 且（C U A ）⋂B={1,9},A ⋂B={2},(C U A)⋂(C U B)={4,6,8},求A 和B.2 已知A={x|x 2-2x-8=0},B={x|x 2+ax+a 2-12=0},若B ⋃A ≠A,求实数a 的取值范围. 10、子集、交集、并集与补集的运算1 设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 的三个非空子集且S 1⋃S 2⋃S 3=I ,则下面论断正确的是（ ）A.C I S 1⋃（S 2⋃S 3）=∅B.S 1⊆(C I S 2⋂C I S 3)C.C I S 1⋂C I S 2⋂C I S 3D.S 1⊆(C I S 2⋃C I S 3)2 设全集是实数集R,M={x|-2≤x ≤2},N={x|x<1},故—M ⋂N 等于（ ）. A.{x|x<-2}B{x|-2<x<1}C.{x|x<1}D.{-2≤x<1} 3 已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x ≤3},P={x|x ≤0或x ≥25},求A ⋂B,(C U B)⋃P,(A ⋂B)⋂(C U P)4 若集合A={1,3,x},B={1,x 2},A ⋃B={1,3,x},则满足条件的实数x 有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5 设M 、P 是两个非空集合，规定M-P={x|x ∈M 且x ∉P},根据这一规定，M-(M-P)等于（ ）A.MB.PC.M ⋃UD.M ⋂P6 设全集U={(x,y)|x,y ∈R},集合 M={(x,y)|23--x y =1},N={(x,y)|y ≠x+1},那么C U M ⋂C U N 等于（ ） A.∅ B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y ≠x+1}集合讲义答案一、1、C 2、C二、1、（3）（4） 2、C 3、D 4、0或1 5、2四、有限集 无限集 有限集 无限集五、1、（1）∉；∉；∈ （2）∉；∈；∈ （3）∈；∈ （4）∉；∈2、7个3、C4、D5、C六、（一）1、{k|k ≠0且k ≠3} 2、C（二）1、B 2、｛a ｜a ≥9/4｝（三）1、（0,3） 2、（－∞，1］（四）1、B 2、C 3、A 4、{1、2、3、4、8} 5、∅七、1 1、{1、2、3}、{1、2、4}、{1、2、5}、{1、2、3、4}、{1、2、3、5}、{1、2、4、5}、{1、2、3、4、5}；7个2、1/3或－13、［－1，＋∞）4、B5、A6、C7、（－∞，－2］8、-1/2、0、1/3 9、a≤-1或a=1 10、m≥811、（1）不存在（2）（-3，-7）、（5,9）、（-2，-6）、（6,10）12、B 13、A 14、0＜k≤2 15、a≤-22 1、x=0、y=±1、A=B={-1、0、1} 2、C3 1、（1）A ⊃B（2）A⊂B（3）A=B（4）A⊃B（5）A=B 2、B4 1、5 B6 1、A⋂B=2、A3、A4、A7 1、A 2、C 3、C 4、a≥1/2或a≤-2/3 5、{-5、2、3、5}8 1、a=4或 -22＜a＜22 2、-1、±29 1、A={-2、3、5、7}、B={1、2、9} 2、［-4，-2）⋃（-2,4）10 1、C 2、D 3、A⋂B={x|-1＜x＜2} 、(C U B)⋃P={x|x＜-4或x≥5/2}、(A⋂B)⋂(C U P)= {x|0＜x＜2} 4、C 5、B 6、B。