非线性偏微分方程： 不是线性的偏微分方程。
两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy c u f , (0.1) 如果 f 0, 则称（0.1）为齐次方程；
否则为非齐次方程。
二、偏微分方程的解
三、偏微分方程的研究方法
微分方程在自然现象、军事科技和国 民经济中发挥着重要的作用，现举例如下：
1、导弹动力学弹道方程组
m dv P cos Q mg sin
dt
m d P sin Y mg cos
dt
dx v cos
dt
dy v sin
dt
dm dt

mc
注意：在弹道设计中，
（2）弦是柔软的：弦在离开平衡位置时各点均不 抵抗弯曲，弦的张力方向沿着弦的切线方向；
拉紧：在弹性范围内，满足Hook（胡克）定律。 （3）弦作微小横振动：弦的位置在同一平面内作 微小变化（|ux|<<1）；弦上各点的位移与平衡位 置垂直（位u 移沿u轴方向）。
建立坐 标系：
以弦的平衡位置为 x轴，在弦作振动的平面
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S

1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
上与x轴垂直的方向为 u轴。以 u( x, t )表
示弦上点x 在时刻t 垂直于x 轴方向的位移
对于弦的微小振动，可设倾角（弦上一点的 ,cos 1,tan
在这种假设下，有：
（1）弦的伸长可忽略不计
ds (dx)2 (du)2 1 ( du)2 dx dx
t
x y
y
c2H
其中 h 平均海平面下水深； 海平面相对平均海平面的高度； H h 总水深； u,v 垂直平均流速的 x, y 分量
几乎所有学科：分子扩散过程、激光诱导DNA分子动
力学模型、桥梁工程设计中的力学振动问题、流体力学、 量子力学、生物人口模型、最优控制论等等
练习：
求解下列二阶偏微分方程
uxy 0
复习：
牛顿运动定律、质量守恒定律、
动量守恒定律、热量守恒定律等基本的 物理定律？
冲量、动量等概念？
本学期（数学物理方程）学习的基本内容：
一、三类数理方程（弦振动方程、热传导方程 和调和方程)定解问题的
1、适定性 2、基本求解方法 3、解的性质等 二、二阶线性偏微分方程的分类 注：弦振动方程也叫波动方程
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
第一章 波动方程
第一节 方程的导出和定解条件
一、方程的导出（以弦振动为例）：
模型：一根拉紧的均匀柔软的细弦，两端固定，长
为 l ，在外力作用下，弦在平衡位置附近作微
小的横振动－振动方向与弦的平衡位置垂直。
问题： 研究弦上各点的运动规律。
分析：（理想化假设）
（1）弦是均匀的：线密度 是常数；
细弦：横截面直径与弦的长度相比可以忽略。
X 为期权的行使价格，f (S,t) 为基于 S 的期权价格。
3、流体力学海域潮流场模型（龙卷风、 海啸模型）
(Hu) (Hv) 0
t
x
x
1
u t
u u x
v u y

fu
g

x
g
u(u 2 v2 ) 2 c2H
1
v u v v v fu g g v(u 2 v2 ) 2
v 导弹速度 (t) 弹道倾角 y 飞行高度 mc 推进剂秒流量
2、金融数学（金融工程期权定价模型）
在基于股票的衍生证券市场上，欧式买入期权的行使办法是：
在到期日 ，当T 股票价格
X
S（T 行X 使价格）时，则按
欧式卖出期权的行使办法是：在到期日 T ，当股票价格 ST X （行使价格）时，则按 X 卖出股票，否则不行使期权。
姜礼尚等编，北京：高等教育出版社，１９９６年 １２月
引言
一、什么是数学物理方程？
从物理、力学等实际问题中产生的函数方程， 主要是偏微分方程或积分方程。
偏微分方程：
含有两个或两个以上自变量和未知函数 以及未知函数的偏导数的关系式。
偏微分方程的阶：
方程中所含偏导数的最高阶阶数。
线性偏微分方程：
如果一个偏微分方程对于未知函数以及它的各阶 偏导数都是线性的。
数学物理方程
主讲教师： 王 术 北京工业大学应用数理学院
wangshu@ Tel:６７３９２２１２（Ｏ）
教材：《数学物理方程》（第二版）
谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基 编著， 北京：高等教育出版社， 2002年7月
参考书：《数学物理方程》
陈恕行、秦铁虎、周忆编著，上海：复旦大学出版 社，2003年9月
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零

T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T
求解动力学弹道的目
的是为了得到
x, y,v
三个参数，以便对射 程、导引方法及燃料 添置等方案进行选择
其中 P,Q,Y,, g 分别表示发动机的推力，气体阻力，升力（飞行速度、飞
行高度、导弹外形等因素确定），推力与速度的夹角在垂 直平面上的投影，重力加速度
m 导弹质量 x 飞行路程