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关于弦振动的求解方法
李航
一、无界弦振动
1、一维齐次波动方程
达朗贝尔方程解无界的定解问题
t x u ,([x -a
1
±2令(u (I)(II)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ，　0|,0|0,),(00222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：
⎰+-+-++=at x at x d a
at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。

对于问题(II)，有下面重要的定理。

定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题
的解)0(≥τ，则⎰=t
d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。

二、有界的弦振动方程
1、分离变量法
齐次条件的分离变量法
λ-，则有：)(''+x X )('+a t T 0)0(=X 对λ用叠加原理。

类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求定解问题的解。

非齐次条件分离变量法
分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=|),0(0222u t u t u t
分离变量法要求定解问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。

所以当边界条件是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。

如：
设),(),(),(t x W t x V t x u +=，通过适当选取),(t x W 使新的未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(t x W 满足：
即可。

a ， b ， c ， d ， e ， f ， 设),(),(),(t x W t x V t x U +=（4），其中构造）
（）（t t ),(B A t x V +=让其满足（2）则： 所以对),(t x W 有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<+∂∂=∂∂==）（）（）（ 8)(|),(|70),(),0(60,0,t sin t 0102
22222Λ
ΛΛx u x u t l W t W t l x A x W a t W t t φϕωω
令）（）（9t kx sin
t ),(0k k Λ∑∞==πT t x W
（9）式带回到（6）式
）（）（9t kx sin
t ),(0k 1k Λ∑∞==πT t x W
解出： 整理出),(t x W 与),(t x V 构成),(t x U 的解，再带回到（3）是求出待定系数。

小结：一般傅里叶级数的求解步骤
1、 令∑∞=k )x (t ),(X
T t x U ）（，其中展开基)x (k X 为对应齐次函数本征函数（由边界条件
2、 将U
3、 将U
4、
5、 将k T。