关于弦振动得求解方法
李航
一、无界弦振动
1、一维齐次波动方程
达朗贝尔方程解无界得定解问题
⎰+-+-++=at x at x d a
at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程得定解问题中，通常就是先求方程得通解，然后利用定解条件确定通解所含得任意常数，从而得到定解问题得解。
考虑无界得定解问题一般方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂==)(|),(|0, ,0022222x t u x u t x x u a t u t t φϕ 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 得值由初始条件在区间],[at x at x +-内得值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 得依赖区域，在t x -平面上，它可瞧作就是过点),(t x ，斜率分别a
1± 为得两条直线在x 轴上截得得区间。
2、一维非齐次波动方程得柯西问题
达朗贝尔方程解非齐次定解问题
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂==)2()(|),(|)1(0,),(0022222 ， x t u x u t x t x f x u a t u t x φϕ
令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ， )(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ (II) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ， 0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)得解可由达朗贝尔公式给出：
⎰+-+-++=at x at
x d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。
对于问题(II)，有下面重要得定理。
定理（齐次化原理）设),,(τωt x 就是柯西问题
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∂∂=>∂∂=∂∂== ， ),(|,0|22222τωωτωωττx f t t x a t t x 得解)0(≥τ，则⎰=t
d t x t x V 0),,(),(ττω就是问题(II)得解。
二、有界得弦振动方程
1、分离变量法
齐次条件得分离变量法
（1） （2） （3） 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程（1）得：
)
()()()('''t aT t T x X x X = ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==)(|),(|0
),(),0(0,0,01022222x u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ
上式右端不含x ，左端不含t ，所以只有当两端均为常数时才能相等。
令此常数为λ-，则有：
0)()(''=+x X x X λ （4）
0)()(2'=+t T a t T λ （5）
所齐次边界条件可得：
0)()(,0)0('=+=l hX l X X （6）
从而特征值问题:
⎩⎨⎧=+==+0
)()(,0)0(0)()('l hX l X X x X x X λ 对λ得取值分三种情况0>λ，,0=λ0<λ进行讨论。
这个定解得特点就是：偏微分方程就是齐次得，边界条件就是齐次得。
求解这样得方程可用叠加原理。
类似于常微分方程通解得求法先求出其所有线性无关得特解，通过叠加求定解问题得解。
非齐次条件分离变量法
分离变量法要求方程就是齐次、边界条件也为齐次,如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量法解。
分离变量法要求定解问题得边界条件就是齐次得，这就是因为用分离变量法要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通过叠加后得函数就不可能满足原边界条件。
所以当边界条件就是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次得。
如：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧====+=)()0,()
()0,()(),(),(),0(),(212x x u x x u t g t l u t g t u t x f u a u t xx tt φϕ
设),(),(),(t x W t x V t x u +=，通过适当选取),(t x W 使新得未知函数满足齐次边界条件，这只须使),(t x W 满足：
)(),0(11t g t W =，)(),(21t g t l W =
即可。
小结：分离变量法得解题步骤
a ， 令)()(),(t T x X t x U +=
b ， 将试探解带入泛定方程。
c ， 将等式两边同时乘以
xx
u a 21，进行分离变量，获得两个常微分方程。
d ， 由边界条件，将）（x X 方程解出需要讨论本征值λ（0>λ，
,0=λ0<λ）三种情况，获得本正值与本征函数。
e ， 写出)t (T 解得形式后与）（x X 一起构成),(t x U 通解形式。
f ， 由初始条件确定待定系数。
三、无界、有界，齐次、非齐次得通解方法
傅里叶级数解法
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<∂∂=∂∂==）
（）
（）（ 3)(|),(|20),(),0(10,0,01022222ΛΛΛx u x u t l u t u t l x x u a t u t t φϕ 设),(),(),(t x W t x V t x U +=（4），其中构造）（）（t t ),(B A t x V +=让其满足
（2）则：
）（）（）
（）（，5t sin t
t -x t t -t )t x (ΛωμμνA V ==
所以对),(t x W 有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<+∂∂=∂∂==）（）（）（ 8)(|),(|70),(),0(60,0,t sin t 0102
22222Λ
Λ
Λx u x u t l W t W t l x A x W a t W t t φϕωω 令）（）（9t kx sin
t ),(0k k Λ∑∞==πT t x W
（9）式带回到（6）式
）（）（9t kx sin
t ),(0k 1k Λ∑∞==πT t x W
解出： 1
n 2t hsin 2-t 1k +=ω）（T 整理出),(t x W 与),(t x V 构成),(t x U 得解，再带回到（3）就是求出待定系数。
小结：一般傅里叶级数得求解步骤
1、 令∑∞==0k k k )x (t ),(X
T t x U ）（，其中展开基)x (k X 为对应齐次函数本征函
数（由边界条件决定）
2、 将∑∞==0k k k )x (t ),(X
T t x U ）（带入泛定方程后，将），（t x f 也按)x (k X 展为
傅里叶级数，比较等式两边，获得）（t k
T 得常微分方程。
3、 将∑∞
==0k k k )x (t ),(X
T t x U ）（带入初始条件，得到关于）（t k
T 方程得定解条
件。
4、 解关于）（t k
T 得常微分方程。
5、 将）（t k T 解得通解形式带回到∑∞
==
0k k k )x (t ),(X T t x U ）（中即可。
（此时即
为方程得解）。