二. 惠更斯—菲涅耳原理
1. 原理内容
• 同一波前上的各点发出的都是相干次波。 • 各次波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。
2. 原理数学表达
设面积为s 的波面 Q ，初相为零,其
上面元ds 在P点引起的振动为
Q
dE(
p)
k ( )ds
r
cos(ω
t
2π λ
r
)
dE( p)
F(Q) k()ds cos(ω t
第14章 波动光学基础
北极光
§14.7 惠更斯—菲涅耳原理
一. 光的衍射现象
衍射屏 圆孔衍射图样
观察屏
光源
光源 L'
衍射屏
L
剃须刀边缘衍射
观察屏
单缝衍射图样
衍射 ——光在传播过程中绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象
衍射的共性：
• 光沿被限制的方向扩展 • 光强重新分配
说明 衍射现象是否明显取决于障碍物线度与波长的对比，波长 越大，障碍物越小，衍射越明显。
Io
Imax
(2) 极小（暗纹）位置：
I 0 sin u 0 u k，k 1,2,3
由 u a sin k 得 a sin k
或 N 2k a sin k k 1,2,3
暗纹 公式
(3) 次极大位置： dI / du 0 tgu u —— 超越方程
dI 0 du
I
I0
sin 2 u2
u
从中央明纹向两侧各次极大的光强依次为:
0.0472I0 ,0.0165I0 ,0.0083I0
结论： I（次极大）<< I （主极大），绝大部分光强都集中
在零级衍射斑。
I( )
单缝夫强曲线
次级明纹角宽度
k
k1 k
sin k1 sin k
a
1 2
0
透镜
观测屏
x2
1
x1
x1
1 o
x0
0
x1
衍射屏
f
• 线宽度 —— 观察屏上相邻两暗纹中心的间距
x ftg f sin
x f k
中央明纹线宽度 次级明纹线宽度
x0
2 x1
2
f
a
x xk1 xk f
a x0
a2
中央明纹角宽度和线宽度均为次级明纹的两倍。
r
2π λ
r)
n
ds
s
r P •
F (Q) 取决于波面上ds处的波强度, k( ) 为倾斜因子.
0, k kmax 1
k()
k ( )
1
π , k 0
2
0 π2
E( p)
s
F
(Q) r
k
(
)
cos(ωt
2π
r
)
ds
E0(
p)
cos(ωt
(
p)
)
P 处波的强度 I p E02( p)
( 菲涅耳衍射 )
P0 E
2. 夫琅禾费衍射 (远场衍射)
光源O ,观察屏E 到衍射屏S 的距离均为无穷远的衍射， 如图所示。
无限远光源 无限远相遇
S
( 夫琅禾费衍射 )
§14.8 单缝的夫琅禾费衍射
一. 典型装置
O
*
f
B
AC
· P x
0 f
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
A, B P 的光程差 AC asin ( a 为缝 AB的宽度 )
x B
N AC
·P
0
f
asinθ A
φ θ
B asinφ
将缝 AB 均分成 N 个窄带，每个窄带宽度为 x a N 设每个窄带在P 点引起的振幅为 E
相邻窄带在 p 点引起振动的位相差为
x sin 2 a sin 2 ( N 很大 )
N
sin N
A A0
2
sin
2
Ep
dEP
sin
asin
说明 (1) 得到的暗纹和中央明纹位置精确,其它明纹位置只是近似 (2) 单缝衍射和双缝干涉条纹比较。
单缝衍射条纹
双缝干涉条纹
2. 单缝衍射的特征分析 （1）条纹的宽度 • 角宽度 —— 相邻两暗纹中心对应的衍射角之差
观测屏
透镜
x2
1
x1
x1
1 o
x0
0
x1
衍射屏
f
中央明纹角宽度由 k 1 暗纹的位置确定
N
2
/ sin
2
δ
N
δ
Ep
δ
E0 δ
dEP
sin u sin u
E0
sin u
u
N
(u a sin )
sin 2 u I I0 u2
单缝衍射光强分布公式
讨论 由
I
I0
sin 2 u2
u
(u a sin )
可得
(1) 主极大（中央明纹中心）位置：
0， u 0
sin u u
1
I
a sin k
a sin 1
a 时， sin 1 1
透镜
观测屏
x2
1
x1
x1
1 o
x0
0
x1
衍射屏
f
中央明纹的角宽度 0 21 2 / a
第 k 级明纹 (次极大) 角宽度 根据暗纹方程，有
a sin k k a sin k1 (k 1)
a(sin k1 sin k )
说明 (1) 对于一般衍射问题，用积分计算相当复杂，实际中常用
半波带法和振幅矢量法分析。
(2) 惠更斯—菲涅耳原理在惠更斯原理的基础上给出了次 波源在传播过程中的振幅变化及位相关系。
三. 光的衍射分类
1. 菲涅耳衍射(近场衍射)
O
S
P
光源O ,观察屏E (或二者之 一) 到衍射屏S 的距离为有 限的衍射，如图所示。
a sin k
a sin (2k 1) 2
明纹条件
?
暗纹条件
二. 菲涅耳半波带法
B
1. 衍射暗纹、明纹条件
a sin m
A
2
• m 为偶数: m 2 (m 4)
结论1: m 为偶数，
B
叠加相消形成暗纹 暗纹条件
半波带
D•
半波带
A
a sin 2k ，k 1,2,3…
2
1 2 1 2
（2） 衍射反比率
x0
2f
a
波长越长，条纹宽度越宽，衍射越明显 缝宽越小，条纹宽度越宽，衍射越明显
当 a 足够 0 x 0
大时，
a
单一的明条纹 退化为几何光学
∴几何光学是波动光学在 / a 0 时的极限情形
（3） 单缝的斜入射对衍射条纹的影响
a sin a sin
（4） 强度分布
2π π
• •
tanu u
y y tanu •
yu
•
• π 2π
0
u
解得 u 1.43π， 2.46π，3.47π，…
相应
asin 1.43λ , 2.46λ , 3.47λ ,…
与半波带法得到的明纹位置 asin (2k 1)λ 2 是较好的近似
(4) 各级次明纹的光强比率
asin
B
asin
A
• m 为奇数： m 3
B
结论2 : 当 m 为奇数，叠加相长形成明纹
明纹条件
a sin (2k 1) ， k 1,2,3…
A
2
• m 既非奇数，也非偶数，如 m 5/ 2
结论3 : P 点的强度介于明纹与暗纹之间
• 0 asin 0
结论4 : 中央明条纹 a sin 0