2-7 试计算下列结果。

(1) t δ( t - 1 )(2) ⎰∞∞--t t t d )1(δ(3) ⎰∞--0d )()3πcos(t t t δω (4) ⎰+---003d )(e t t t δ解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 )(2) 1d )1(d )1(=-=-⎰⎰∞∞-∞∞-t t t t t δδ(3) 21d )()3πcos(d )()3πcos(00=-=-⎰⎰∞∞--t t t t t δδω (4) 1d )(d )(e d )(e 00003003===-⎰⎰⎰+-+-+---t t t t t t t t δδδ2-5 设有题2-6图示信号f ( t )，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。

题2-6图解 (a)20,21≤≤tf ' ( t ) = δ( t - 2 )， t = 2-2δ( t - 4 )， t = 4(b) f " ( t ) = 2δ( t ) - 2δ( t - 1 ) - 2δ( t - 3 ) + 2δ( t - 4 )图p2-63-11 试求下列卷积。

(a) δ( t ) * 2(b) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t )解 (a) 由δ( t )的特点，故δ( t ) * 2 = 2(b) 按定义ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) = ⎰∞∞---+ττετεd )5()3(t考虑到τ < -3时，ε( τ + 3 ) = 0；τ > t -5时，ε( t -τ - 5 ) = 0，故ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =2,2d 53>-=⎰--t t t τ也可以利用迟延性质计算该卷积。

因为ε( t ) * ε( t ) = t ε( t )f 1( t - t 1 ) * f 2( t - t 2 ) = f ( t -t 1 -t 2 )故对本题，有ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) = ( t + 3 - 5 )ε( t + 3 - 5 ) = ( t - 2 )ε( t - 2 )两种方法结果一致。

(c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t ) = [t e -t ε( t )]' = ( e -t - t e -t )ε( t )3-13 试求下列卷积。

(a) )()()()e 1(2t t t t εδε*'*--(b) )](e [d d )(e 3t tt t t δε--*解 (a)因为)()()()(t t t t δεεδ='=*'，故)()e 1()()()e 1()()()()e 1(222t t t t t t t t t εδεεδε----=*-=*'*-(b)因为)()(e t t t δδ=-，故tt tt t t t t tt 333e 3)()()(e )](e [d d )(e -----='*=*δδεδε 4-3 试求下列信号的频谱函数。

(1) t t f 2e )(-=(2) )(sin e )(0t t t f at εω⋅=- 原题（a>0）解 (1)⎰⎰⎰∞--∞--∞∞--+==0j 20j 2j d e e d e e d e )()(t t t t f F t t t t t ωωωω244j 21j 21ωωω+=++-=(2)⎰⎰∞---∞∞---⋅==0j j j j d )e e (e 2j1e d e )()(00t t t f F t t t at tωωωωω ⎰∞-----⋅-⋅=0)j (j )j (j ]d e e e [e 2j 100t t a t t a t ωωωω ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+=00j )j (1j )j (12j 1ωωαωωα 22022000)j ()j (j 22j 1ωωαωωωαω++=++⋅=4-10 试求信号f ( t ) = 1 + 2cos t + 3cos3t 的傅里叶变换。

解 因为1 ↔ 2πδ(ω)2cos t ↔ 2π[δ(ω - 1) + δ(ω + 1) ] 3cos3t ↔ 3π[δ(ω - 3) + δ(ω + 3) ]故有F (ω ) = 2π[δ(ω) + δ(ω - 1) + δ(ω + 1) ] + 3π[δ(ω - 3) + δ(ω + 3) ] 5-1 求下列函数的单边拉氏变换。

(1) t --e 2 (2) t t 3e )(-+δ (3) t t cos e 2-解 (1) )1(2112d e )e 2()(0++=+-=-=⎰∞--s s s s st s F st t(2) 311d e ]e )([)(03++=+=⎰∞---s t t s F st t δ (3)⎰⎰∞---∞--⋅+==02j j 02d e e )e (e 21d e )cos (e )(t t t s F st t t tst t 1)2(2j 21j 21212+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+=s s s s5-9 用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。

(1) 651)(2+++=s s s s F(2) )1(22)(22+++=s s s s s F (3) 231)(2++=s s s F (4)2)2(4)(+=s s s F解 (1)32)3)(2(1651)(212+++=+++=+++=s k s k s s s s s s s F1)()2(21-=+=-=s s F s k 2)()3(32=+=-=s s F s k故有3221)(+++-=s s s F 所以)()e 2e ()(32t t f t t ε--+-=(2) 1)1(22)(222+++=+++=s CBs s A s s s s s F 可得2)(0===s s F s A又Cs Bs A As s s +++=++22222可得B = 0，C = 1112)(2++=s ss F所以)()sin 2()(t t t f ε+=(3)21)2)(1(1231)(212+++=++=++=s k s k s s s s s F 1)()1(11=+=-=s s F s k 1)()2(22-=+=-=s s F s k故有2111)(+-++=s s s F故)()e e ()(2t t f t t ε---=(4) 2)2()2(4)(1221112++++=+=s k s k s k s s s F 故1)(01===s s F s k 24)()2(22211-==+=-=-=s s s s F s k 1)4(d d )]()2[(d d 22212-==+=-=-=s s s s s F s s k故有2)2(2211)(+-+-+=s s s s F所以)()e 2e 1()(22t t t f t t ε----=5-10 求下列象函数的拉氏反变换。

(类似) (1) s s F --=e 1)( (2) 2e 1)(+-=-s s F s(3))e 1(e 1)(2sss s F ----=解 (1) )1()()(--=t t t f δδ (2) )1(e )(e )()1(22--=---t t t f t t εε (3)+---+---+--=)5()2()3()1()2()()(t t t t t t t f εεεεεε5-13 设某LTI 系统的微分方程为)(3)(6)(5)(t f t y t y t y =+'+''试求其冲激响应和阶跃响应。

解 对方程取拉氏变换，得系统函数)3)(2(3653)(2++=++=s s s s s H当f ( t ) = δ( t )时，F ( s ) =1，得)3)(2(3)()(++==s s s H s Y从而0,e 3e 3)(32≥-=--t t h t t当f ( t ) = ε( t )时，ss F 1)(=，得)3)(2(3)(1)(++==s s s s H s s Y3125.15.0+++-+=s s s 故得0,e e 5.15.0)()(32≥+-==--t t s t y t t6-15 试判定下列系统的稳定性。

(1) 681)(2+++=s s s s H (2) 23413)(23+-++=s s s s s H(3))34)(1(42)(2++++=s s s s s H解 (1) 因H ( s )分母多项式各项系数均为正，故稳定。

(2) 因H ( s )分母多项式有负系数，故不稳定。

(3) 因)3)(1)(1(42)34)(1(42)(2++++=++++=s s s s s s s s s H 其极点均在左半平面，故系统稳定。

7-1 试画出下列离散信号的图形。

(a) )()21()(1n n f n ε=(b) )2()(2n n f -=ε(c) )2()(3n n f --=ε (d) )()5.01(2)(4n n f n ε-=解 各信号的图形分别如图p7-1所示。

图p7-17-2 试画出下列序列的图形。

(a) )6()2()(1---=n n n f εε(b) )()2()(2n n n f -++=εε(c) )]5()([)()(3--⋅=n n n n n f εεε(d) )4()3(2)2(2)1()()(4-+-+-+-+=n n n n n n f δδδδδ解 各序列的图形分别如图p7-2所示。

图p7-27-4 设有离散系统的差分方程为)1()(4)2(3)1(4)(-+=-+-+n f n f n y n y n y试画出其时域模拟图。

解 原方程可以写为)1()(4)2(3)1(4)(-++----=n f n f n y n y n y从而可得时域模拟图p7-4，图中D 为单位延时（位移）器。

图p7-47-6 设有序列f 1( n )和f 2( n )，如图7-6所示，试用二种方法求二者的卷积。

D DD题7-6图解 方法一：用“乘法”2 1.5 1 1 1.5 2⨯ 1 1 1 12 1.5 1 1 1.5 22 1.5 1 1 1.5 2 2 1.5 1 1 1.5 2 2 1.5 1 1 1.5 22 3.5 4.5 5.5 5 5.5 4.5 3.5 2即有}2,5.3,5.4,5.5,5,5.5,5.4,5.3,2{)()(021=↑=*n n f n f方法二：用单位序列表示各函数后卷积。