(2R)2 a2 ( 2a)2,得：R 3 a 2
S 4R2 3a2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——a。2
变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=2— —a2 。
关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系
例4、有三个球,一球切于正方体的各面,一 球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的 各顶点,求这三个球的体积之比. 1 : 2 2 : 3 3
V V1 V2 V3 ... Vn
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi
Vi
1 3
Si
hi
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
V
1 3
S1h1
1 3
S2h2
1 3
S3h3
...
1 3
Sn
hn
第三步：转化为球的表面积
Si
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是
ｈ，那么它的体积是：
1
Ｖ圆台＝ 3
πh
(r12
r1r2
r22 )
五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S S V 1 (S
3
SS S)h
S 0
P
Q
祖暅原理
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
三:锥体体积
例2 如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.
问（1）从A点出发能将棱柱分割成几个三棱锥？
D1
C1
D1
3．几何体的表面积应注意重合部分的处理．
一、体积的概念与公理:
几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积 。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积
。
V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
V正方体= a3
公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
Vi
Si
R
O Vi
V
1 3
Vi
Si
R
1 3
S2
1
3 R
Si R
1 3
S3
R...1 3来自SnR1 3
R(Si
S2
S3
...
Sn
)
1 3
RS
①
球的体积: V 4 R3 ②
由①② 得:
3
S 4πR2
设球的半径为R，则球的体积公式为 V球＝ 4∕3π.R3
例1．(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 面积之比＝4，则它们的半径之比＝______.
几何体的表面积问题小结
1．高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中， 借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体 的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、 圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个 曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆 的面积之和．
R
R O
R
R O
1 2
V球
=
πR2 R - 1 πR2 R 3
= 2 πR3 3
V球
=
4 3
πR3
R
R O
R
R O
知识点三、球的表面积和体积
（
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S1，S2，S3...Sn
O
则球的表面积：
S S1 S2 S3 ... Sn
Si
O
Vi
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
D1
C1
A
A A
D
CD
B
答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.
A C
C
D
C
B
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
解析：S 球＝4πR2，故RR12＝
SS12＝ 4＝2.
答案：2
例2：
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—2倍。
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—4倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是—1—: 2—2。
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是—1—: 3—4。
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面 h为锥体高 面积，h 为台体高
S为底面面积， h为柱体高
题型二 组合体的体积
例1 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱 锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积 是正方体体积的几分之几？
探究 球的体积：
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个 以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥 后，所得的几何体的体积与一个半径为R的 半球的体积相等。
例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可
知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A
D A11
C B
O C1
B1
D A
D A11
C B
O C1
B1
略解：
RtB1D1D中: B1D 2R，B1D 2a
作轴截面
例5已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体 积，表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O
OO R , ABC是正三角形，
2
C
A
O
OA 2 3 AB 2 3 r
32
3
B
几何体的体积小结
1．求空间几何体的体积除利用公式法外，还 常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一 些不规则几何体体积计算问题的常用方法．
解 如图所示,
过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得
∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC= 3R ,BC=R,CO1
2．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据 条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体 的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面 问题．
【例2】
如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.
思维启迪
先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再 求表面积.