利用导数研究函数的图像及零点问题【复习指导】本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用．基础梳理1．确定函数的图像①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点；②．特征线：渐近线，对称轴．2．函数的零点⑵．求函数的零点的知识提示：①．判别式；②．介值定理；③．单调性．两个注意⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域．⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点．三个防范⑴．．⑵．．⑶．常见函数的图像⑴．函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像．⑵．函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像．⑶．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像．⑷．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像．双基自测⑴．画函数1ln y x x =--的图像． ⑵．画函数2x y e x =-的图像．⑶．画函数xe y x=的图像．⑷．画函数ln xy x=的图像． ⑸．关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 ．1初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点考点一 函数的图像问题题型⑴．画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像． 【练习1】画函数2x y x e =-的图像．【例2】[10山东文理]函数22x y x =-的图像大致是___________．【解】因当2x =或4时，220x x -=，故排除B 、C ；当2x =-时，212404x x -=-<，故排除D ，故选A ．【练习2】⑴．画函数212x y e x x =--的图像；⑵．画函数2ln y x x =-的图像．【例3】⑴．画函数x y xe =的图像；⑵．画函数ln xy x=的图像． 【练习3】⑴．画函数ln y x x =的图像；⑵．画函数x xy e=的图像．题型⑵．识图 【例4】[12山东]函数cos 622x xxy -=-的图像大致为___________．【解】函数为奇函数，故图象关于原点对称，排除A ，令0=y 得06cos =x ，故ππk x +=26，ππ612kx +=，函数零点有无穷多个，排除C ，且y 轴右侧第一个零点为)0,12(π，又x x y --=22为增函数，当120π<<x 时，022>-=-x x y ，06cos >x ，故函数0226cos >-=-xx xy ，排除B ，选D ． 【练习4】[11山东理]函数2sin 2xy x =-的图象大致是【解】函数2sin 2x y x =-为奇函数，且12cos 2y x '=-，令0y '=得1cos 4x =，由于函数cos y x =为周期函数，而当2x π>时，2sin 02x y x =->，当2x π<-时，2sin 02xy x =-<，则答案应选C ． 题型⑶．用图【例5】南京市2013届高三9月学情调研2012．09已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln |x |的图象有四个交点，则实数m 的取值范围为 ．(－∞，－12－ln2) 【练习5】已知使函数320()1(0)f x x ax a M =--≤≤存在整数零点的实数a 恰有3个，则0M 的取值范围是 ．2663[,)916考点二 函数的零点问题题型⑴．判断已知函数的零点所在区间 【例6】[09天津理]设函数1()l n 3f x x x =-，则()y f x =的零点个数是______________． 【解】由题得'3()3x f x x-=，令'()0f x >得，3x >；令'()0f x <，得03x <<，令'()0f x =得，3x =，故知函数()y f x =在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)+∞为增函数，在点3x =处有极小值1ln 30-<，故有两个零点，分别在(1,)e 和(3,)+∞上．【练习6】已知函数4()95f x x x =++，则()y f x =的图像在区间(1,3)-内与x 轴交点的个数为_____________．【解】'3()49f x x =+，令'()0f x =得，1x =-，故在区间(1,3)-内'()0f x >，即()y f x =在区间(1,3)-上单调递增，故()y f x =的图像在区间(1,3)-内与x 轴交点的个数为1．题型⑵．已知函数的零点的情况，求参数的范围 【例7】已知函数()f x kx =，ln ()xg x x=，如果关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，那么实数k 的取值范围是 ． 【法一】方程()()f x g x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，即2ln x k x =在区间1[,]e e 内有两个实数解，令2ln ()x h x x =，则'312ln ()xh x x-=，令'()0h x =得，x =则函数2ln ()x h x x =在1[e 上单调递增，在]e 上单调递减，故max 1()2h x h e ==，而21()h e e =-，21()h e e =，要使得方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，故k 的取值范围是211[,)2e e．【法二】易知ln ()x g x x =的经过原点的切线为2x y e =，而点1(,)e e -与1(,)e e与原点连线的斜率分别为2e -与21e，故k 的取值范围是211[,)2e e ．【练习7】已知2(),f x ax a R =∈，()2ln g x x =．⑴．讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；⑵．若方程()()f x g x =在区间]e 上有两个不等的实数解，求实数a 的取值范围．【解】⑴．2()()()2ln F x f x g x ax x =-=-，则2'1()2()ax F x x-=， ①．当0a ≤时，'()0F x ≤，()F x 在(0,)+∞上单调递减； ②．当0a >时，'()F x x =，在(0,上，'()0F x <，则()F x在上单调递减；，在)+∞上，'()0F x >，则()F x在)+∞上单调递增；⑵．【解一】方程()()f x g x =在区间]e 上由两个不等的实数解，即()0F x =在区间]e上有两个不等的实数解，则0,()0,0F F e F e ⎧≥⎪≥⎪⎪⎪⎨<⎪，解得，11ln 22a e ≤<． 【解二】方程()()f x g x =在区间]e 上由两个不等的实数解，即22ln xa x =在区间]e 上有两个不等的实数解，设22ln ()x p x x =，则'32()(12l n )p x x x=-，令'()0p x =得，x =上，'()0p x >，()p x在上单调递增；在)e 上，'()0p x <，则()p x在)e上单调递减；故max 1()p x p e==，而1ln 22p =，21()p e e =，故实数a 的取值范围为11[ln 2,)2e． 【例8】已知2()2ln ,f x x ax x a R =-++∈．⑴．当2a =时，求函数()y f x =在1x =处的切线方程；⑵．若函数()()g x f x ax m =-+在区间1[,]e e上由两个不等的零点，求实数m 的取值范围．【解】⑴．当2a =时，2()22ln f x x x x =-++，则'2()22f x x x=-++，则'(1)2f =，(1)2f =，故函数()y f x =在1x =处的切线方程为2y x =； ⑵．【解一】2()2ln g x x m x =-++，则'2(1)()(1)xg x x x+=-，故在1(,1)e上，'()0g x >，故()g x 在区间1(,1)e上单调递增，在(1,)e 上，'()0g x <，故()g x 在区间(1,)e 上单调递减，故max ()(1)1g x g m ==-，而211()2g m ee=--，2()2g e m e =-+，由函数()()g x f x ax m =-+在区间1[,]e e上由两个不等的零点，则max ()(1)10g x g m ==->，211()20g m e e=--≤，故实数m 的取值范围为2112m e<≤+． 【解二】方程2()2ln 0g x x m x =-++=，即22ln m x x =-，令2()2ln h x x x =-，则'2()h x x =⋅ (1)(1)x x +-，令'()0h x =得，1x =，()h x 在区间1(,1)e上单调递减，在(1,)e 上单调递增，故min ()(1)1h x h ==，而211()2h e e=+，2()2h e e =-，由方程()()g x f x ax m =-+在区间1[,]e e 上由两个不等的零点得，2112m e <≤+．题型⑶．判断函数有零点的条件【例9】[*]设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ． 【解】2ln ()2xg x x ex m x=-+-，则'21l n ()2()xg x x e x-+=-+，在(0,)e 上，'()0g x <，()g x 单调递减；在(,)e +∞上，'()0g x >，()g x 单调递增，故2min 1()()g x g e m e e ==--，由函数()g x 至少存在一个零点知，2min1()()0g x g e m e e ==--≤，解得，21m e e≤+，即实数m 的取值范围是21(,]e e-∞+． 【练习9】[徐州12一检12．01]已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈．⑴．当0a <时，解不等式()0f x >；⑵．若()y f x =在[1,1]-上是单调增函数，求a 的取值范围；⑶．当0a =时，求整数k 的所有值，使方程()2f x x =+在[,1]k k +上有解． 【解】⑴．因0x e >，故不等式()0f x >即为20ax x +>，又0a <，故不等式可化为1()0x x a+<，故不等式()0f x >的解集为1(0,)a-．⑵．2()[(21)1]x f x ax a x e '=+++，①．当0a =时，()(1)x f x x e '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时取等号，故0a =符合要求；②．当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因2410a ∆=+>，故()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，因此()y f x =有极大值又有极小值．若0a >，因(1)(0)0g g a -⋅=-<，故()y f x =在(11)-，内有极值点，故()f x 在[11]-，上不单调．若0a <，可知120x x >>，因()y g x =的图象开口向下，要使()y f x =在[11]-，上单调，因(0)10g =>，必须满足(1)0,(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩，即320,a a +≥⎧⎨-≥⎩，故203a -≤<．综上可知，a 的取值范围是2[,0]3-．⑶．当0a =时，方程即为e 2x x x =+，由于0x e >，故0x =不是方程的解，故原方程等价于210x e x--=，令2()1xh x e x=--，因22()e 0xh x x '=+>，对于(,0)(0,x ∈-∞+∞ 恒成立，故()y h x =在(,0)-∞和(0,)+∞内是单调增函数，又(1)30h e =-<，2(2)20h e =->，31(3)03h e --=-<，2(2)0h e --=>，故方程()2f x x =+有且只有两个实数根，且分别在区间[12]，和[32]--，上，故整数k 的所有值为{3,1}-．题型⑷．讨论含有参数的函数的零点【例10】讨论方程3320(0)x ax a -+=>的解的个数． 【解】设3()32f x x a x =-+，则()3()f x x a '=+-知，()y f x =在(,-∞上单调递增，()y f x =在(上单调递减，()y f x =在)+∞上单调递增，()y f x =的极大值为(22f =，极小值为22f =-，当极小值220f =->时，即01a <<，方程仅有一个实数根，当极小值220f =-≤时，即1a ≥，方程仅有三个实数根，． 【练习10】已知函数2()ln 2x f x kx x =-+(k 为常数)，若函数()y f x =存在极值，则函数()y f x =的零点个数 ．【解】易知，当2k >时，()y f x =有极值，因121x k==<<，故1ln 0x <，且函数()y f x =的极大值为2211111111(4)()ln 20222x x x x f x kx x x -=-+<-=<，因函数()y f x =在1(0,)x 是增函数，在12(,)x x 是减函数，故当1(0,]x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，即()f x 在1(0,]x 无零点，当2(,)x x ∈+∞时，函数()y f x =是增函数，故函数()y f x =在2(,)x +∞至多有一个零点，另一方面，因(2)ln(2)0f k k =>，2()0f x <，则2()(2)0f x f k <，由零点定理得：函数()y f x =在2(,2)x k 至少有一个零点，故函数()y f x =在2(,)x +∞有且只有一个零点，综上所述，当函数()y f x =存在极值时，函数()y f x =有且只有一个零点．题型⑸．函数的零点的综合问题【例11】[10浙江文]已知函数2()()()(,,)f x x a x b a b R a b =--∈<．⑴．当1a =，2b =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⑵．设1x ，2x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠．证明：存在实数4x ，使得1x ，2x ，3x ，4x 按某种顺序排列后成等差数列，并求4x ．【解】⑴．当1a =，2b =时，因'()(1)(35)f x x x =--，故'(2)1f =，(2)0f =，故()y f x =在点(2,0)处的切线方程为2y x =-；⑵．证：因'2()3()()3a b f x x a x +=--，由于a b <．故23a ba +<．则()y f x =的两个极值点为x a =，23ab x +=．不妨设1x a =，223a bx +=，因31x x ≠，32x x ≠，且3x 是()y f x =的零点，故3x b =．又222()33a b a ba b ++-=-，4122()233a b a bx a ++=+=，故a ，23a b +，23a b +，b 依次成等差数列，故存在实数4x 满足题意，且423a bx +=．作业1．设a b <，函数2()()y x a x b =--的图像可能是【解】'()(32)y x a x a b =---，由'0y =得，x a =，23a bx +=，故当x a =时，y 取极大值0，当23a bx +=时y 取极小值且极小值为负．故选C ．或当x b <时0y <，当x b >时，0y >选C2．设函数32()(,,,)f x ax bx cx d a b c d R =+++∈，对任意的实数x ，有3()2(f x f x ''+- 25215x x =--恒成立，且2)0(=f ．⑴．求)(x f 的表达式；⑵．设16)86()(2)(++-+'=m x m x f m x g ，mx x h =)(，若对于任意x ，()y g x =和()y h x =的值至少有一个正数，求实数m 的取值范围．3．如果对于函数()y f x =的定义域内任意的1x ，2x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数()y f x =是定义域上的“平缓函数”．⑴．判断函数x x x f -=2)(，[0,1]x ∈是否是“平缓函数”；⑵．若函数()y f x =是闭区间[0,1]上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意的1x ，2[0,1]x ∈，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立．⑶．设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间[,)m +∞上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）． 【解】⑴．1x ∀，2[0,1]x ∈，有11121≤-+≤-x x ，1|1|21≤-+x x ．从而12|()()|f x f x -= 221122121212|()()||||1|||x x x x x x x x x x ---=-+-≤-．故函数x x x f -=2)(，[0,1]x ∈是“平缓函数”．⑵．当21||21<-x x 时，由已知得21|||)()(|2121<-≤-x x x f x f ；当21||21≥-x x 时，因1x ，2[0,1]x ∈，不妨设1021≤<≤x x ，其中2112≥-x x ，因)1()0(f f =，故=-|)()(|21x f x f 12121212|()(0)(1)()||()(0)||(1)()||0||1|f x f f f x f x f f f x x x x x -+-≤-+-≤-+-=-111122+≤-+=．故对于任意的12,[0,1]x x ∈，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． ⑶．结合函数x a x f ln )(=的图象性质及其在点m x =处的切线斜率，估计a 的取值范围是闭区间],[m m -．4．方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数是 ．【解】设32()267f x x x =-+，则()6(2)f x xx '=-知，()y f x =在(0,2)上单调递减，(0)7f =，(2)1f =-，故方程322670x x -+=在(0,2)内根的个数是1．5．已知()y f x =是定义在(,0)(0,-∞+∞ 上的奇函数，当0x >时，()l n f x a x x =-+．若函数()y f x =在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ；1(0,)e6．[12湖南文]设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2x π≠时，()()02x f x π'->，则函数()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为【解】当(0,)x π∈且2x π≠时，()()02x f x π'->，知[0,)2x π∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当(]2x ππ∈，时，()0f x '>，()f x 为增函数，又[0,]x π∈时，0()1f x <<，在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为4个．7．[2010·福建]函数f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )．A ．3B ．2C ．7D ．08．已知函数2()a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >． ⑴．若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值； ⑵．若函数()()()x f x g x ϕ=-在2[,]e e (e 为自然对数的底数)上存在零点，求实数a 的取值范围．【解】⑴．因2()2ln a h x x x x =++，其定义域为(0,)+∞，故221()2a h x x x=-+．因1x =是函数()y h x =的极值点，故'(1)0h =，即230a -=．因0a >，故a =验当a =1x =是函数()y h x =的极值点，故a =⑵．由题意，可知方程2ln a x x=在区间2[,]e e 上有根，因2a y x =在2[,]e e 上是单调减函数，ln y x =在2[,]e e 上是单调增函数，故2221,2a e a e ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，故]a ∈． 9．设函数()|1|f x x x m =-+，()ln g x x =． ⑴．当1m >时，求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值； ⑵．记函数()()()p x f x g x =-，若函数()y p x =有零点，求m 的取值范围．【解】⑴．当[0,1]x ∈时，211()(1)()24f x x x m x m =-+=--++，故当12x =时，max 1()4f x m =+，当(1,]x m ∈时，()(1)f x x x m =-+＝2211()24x x m x m -+=-+-，因函数()y f x =在(1,]m 上单调递增，故2max ()()f x f m m ==，由214m m ≥+得2104m m --≥又1m >m ⇒≥故当12m ≥时，2max ()f x m =，当1m <<时，max 1()4f x m =+．⑵．函数()y p x =有零点即方程()()|1|ln 0f x g x m x x x -=+--=有解，即ln |1|m x x x =--有解，令()|1|ln h x x x x =--+，当(0,1]x ∈时，2()ln h x x x x =-+，因1'()21h x x x=+-≥ 10>，故()y h x =在(0,1]上是增函数，故()(1)0h x h ≤=，当(1,)x ∈+∞时，2()ln h x x x x =-++，因(1)(21)'()0x x h x x -+=-<，故函数()y h x =在(1,)+∞上是减函数，故()(1)0h x h <=，故方程|1|ln m x x x =--+有解时0m ≤，即函数()y p x =有零点时0m ≤．10．已知函数2()()x f x ax x e =+，其中e 是自然数的底数，a R ∈， ⑴．当0a <时，解不等式()0f x >；⑵．若当[1,1]x ∈-时，不等式()(21)0x f x ax e ++≥恒成立，求a 的取值范围；⑶．当0a =时，试判断：是否存在整数k ，使得方程()(1)2x f x x e x =++-在[,1]k k +上有解？若存在，请写出所有可能的k 的值；若不存在，说明理由．【解】⑴．2()0x ax x e +>，因0x e >，故20ax x +>，0a <取根的中间；()(21)0x f x ax e ++≥，即不等式2(21)10ax a x +++≥恒成立，分类讨论：0a =，0a ≠且0a ≠时，2410a ∆=+>，数形结合：如图：若0a >，02111122a x a a+=-=--<-，若0a <，如图：方程()(1)2x f x x e x =+⋅+-在[,1]k k +上有解，需判断函数在[,1]k k +上的单调性，数形结合．⑵．2()0x ax x e +⋅>，即20ax x +>，由于0a <，故1()0ax x a+>，故解集为1{|0}x x a <<-；当[1,1]x ∈-时，即不等式2(21)10ax a x +++≥恒成立， ①若0a =，则10x +≥，该不等式满足在[1,1]x ∈-时恒成立； ②由于2410a ∆=+>，故2()(21)1g x ax a x =+++有两个零点，若0a >，则需满足0,(1)0,2112a g a a⎧⎪>⎪-≥⎨⎪+⎪-≤-⎩，即0,0,212a a a a >⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，此时a 无解； ③若0a <，则需满足0,(1)0,(1)0a g g <⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，即0023a a a ⎧⎪<⎪<⎨⎪⎪≥-⎩，故203a -≤<， 综上所述，a 的取值范围是203a -≤≤．⑶．方程即为20x e x +-=，设()2x h x e x =+-，由于x y e =和2y x =-均为增函数，则()y h x =也是增函数，又因(0)10h =-<，(1)10h e =->，故该函数的零点在区间(0,1)上，又由于函数为增函数，故该函数有且仅有一个零点，故方程20x e x +-=有且仅有一个根，且在(0,1)内，故存在唯一的整数0k =．11．已知函数12132)(23+--=x x x x f ，R x ∈．⑴．求函数)(x f 的极大值和极小值；⑵．已知R x ∈，求函数)(sin x f 的最大值和最小值．⑶．若函数g()()x f x a =+的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．【解】⑴．()(1)(21)f x x x '=-+，故()f x 的极大值为131()224f -=，)(x f 的极小值为61)1(=f ；⑵．令]1,1[,sin -∈=t t x ，则)(s i n x f =12132)(23++-=t t t t f ，由⑴知，)(t f 在]21,1[--上单调递增，在]1,21[-上单调递减，因5(1)6f -=，2431)21(=-f ，61)1(=f ，故(sin )f x 的最大值为2431，最小值为61； ⑶．由⑴得，02431)21(<+=-a g 或061)1(>+=a g ，故3124a <-或61->a ． 12．已知函数321()()3f x x x ax a a R =-+-∈． ⑴．当3a =-时，求函数()y f x =的极值；⑵．若函数()y f x =的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．【解】⑴．当3a =-时，321()333f x x x x =--+，故'()(3)(1)f x x x =-+．令'()0f x =，得121,3x x =-=．当1x <-时，'()0f x >，则()y f x =在(,1)-∞-上单调递增；当13x -<<时，'()0f x <，则()y f x =在(1,3)-上单调递减；当3x >时，'()0f x >，()y f x =在(3,)+∞上单调递增．故当1x =-时，()y f x =取得极大值为14(1)3f -=；当3x =时，()y f x =取得极小值为(3)6f =-． ⑵．因'2()2f x x x a =-+，故4(1)a∆=-．①．若1a ≥，则0∆≤，故'()0f x ≥在R 上恒成立，故()y f x =在R 上单调递增．因(0)0,(3)20f a f a =-<=>，故当1a ≥时，函数()y f x =的图象与x 轴有且只有一个交点．②．若1a <，则0∆>，故'()0f x =有两个不相等的实数根，不妨设为1x ，212()x x x <．故122x x +=，12x x a =．当x 变化时，'()f x ，()f x 的取值情况如下表：因21120x x a -+=，故2112a x x =-+．即323211*********()(2)[333f x x x ax a x a x x x =-+-=+-=+ 3(2)]a -．同理22221()[3(2)]3f x x x a =+-．故221212121()()[3(2)][3(2)]9f x f x x x x a x a =+-+- 24(33)9a a a =-+．令12()()0f x f x >，解得0a >．而当01a <<时，(0)0,(3)2f a f a =-<= 0>，故当01a <<时，函数()y f x =的图象与x 轴有且只有一个交点．综上所述，a 的取值范围是(0,)+∞．12-13常州中学高三（上）期中（理）13．已知函数32()()f x ax bx b a x =++-(,a b 是不同时为零的常数)，其导函数为'()y f x =．⑴．当13a =时，若存在[3,1]x ∈--，使得'()0f x >成立，求b 的取值范围； ⑵．求证：函数'()y f x =在(1,0)-内至少有一个零点；⑶．若函数()y f x =为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围．【解】⑴．当13a =时，'221()()3f x x b b b =+-+-，其对称轴为直线x b =-，当'2(3)0b f -≥-⎧⎨->⎩解得2615b <，当'2(1)0b f -<-⎧⎨->⎩，无解，故b 的取值范围是26(,)15-∞． ⑵．因'2()32f x ax bx b a =++-，当0a =时，12x =-适合题意．当0a ≠时，232(1)0b b x x a a ++-=，令b t a=，则232(1)0x tx t ++-=，令2()32(1)h x x tx t =++-，因11()024h -=-<，当1t >时，(0)10h t =->，故()y h x =在1(,0)2-内有零点．故当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点．综上可知，函数'()y f x =在(1,0)-内至少有一个零点；法二：'(0)f b a =-，'(1)2f a b =-，'12()33b a f --=．由a ，b 不同时为零，故''1()(1)03f f --<，故结论成立； ⑶．因函数32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，故0b =，故3()f x ax ax =-，又()y f x =在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，故1a =，即3()f x x x =-．因'()3(f x x x =+，故()y f x =在(-∞，)+∞上是增函数，在[上是减函数，由()0f x =解得，0x =，x =，当1t -<≤时，1()04f t t ≥-≥，即34t t t -≥-，解得，23t -≤≤-；当03t -<<时，1()04f t t >-≥，解得，0t <<；当0t =时，显然不成立；当0t <≤1()04f t t ≤-<，即34t t t -≤-，解得，0t <≤t >时，1()04f t t <-<，t <<t 的取值范围是0t ≤<或0t << 14．已知函数2()2ln (0)f x x a x a =->，若关于x 的方程()2f x ax =有惟一解，求a 的值．【解】记2()()222ln g x f x ax x ax a x =-=--，则'22()()g x x ax a x=--，若方程()2f x ax =有惟一解，即()0g x =有惟一解；令'()0g x =，得20x ax a --=．因0a >，0x >，故10x =<(舍)，2x =．当2(0,)x x ∈时，'()0g x <，()g x 在2(0,)x 上是单调减函数；当2(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，()g x 在2(,)x +∞上是单调增函数；当2x x =时，'()0g x =，故m in 2()()g x g x =．因()0g x =有惟一解，故2()0g x =．则2'2()0,()0g x g x =⎧⎨=⎩，即22222222ln 20,0x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，两式相减得，22ln 0ax a a x -+=，因0a >，故2212ln 0x x -+=(*)．设函数()12ln h x x x =-+，因在0x >时，()h x 是增函数，故方程()0h x =至多有一解．因(1)0h =，故方程(*)的解为21x =，从而解得12a =．15．已知函数2()()x f x x ax a e =+-，其中a 是常数．⑴．当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； ⑵．若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解】⑴．由2()()x f x e x ax a =+-可得，2'()[(2)]x f x e x a x =++．当1a =时，(1)f e =，'(1)4f e =．故曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4(1)y e e x -=-，即43y ex e =-．⑵．令2'()[(2)]0x f x e x a x =++=，解得(2)x a =-+或0x =．当(2)0a -+≤，即2a ≥-时，在区间[0,)+∞上，'()0f x ≥，故()f x 是[0,)+∞上的增函数．故方程()f x k =在[0,)+∞上不可能有两个不相等的实数根．当(2)0a -+>，即2a <-时，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表。