第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ⎰解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ϕ==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1sin 3sin 3(3)3x x x =，故有 '111sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333xdx x x dx xd x x uu C ===-+⎰⎰⎰13cos33u x x C =-+例2：求不定积分(0)a >解：为了消去根式，利用三解恒等式22sin cos 1t t +=，可令sin ()22x a t t ππ=-<<，则cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分化为2221cos 2cos cos cos 2ta t a tdt a tdt a dt +=⨯==⎰⎰⎰2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++⎰⎰ 2(sin cos )2a t t t C =++ 由于sin ()22x a t t ππ=-<<，所以sin xt a=，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写出cos t a==邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ⎰分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为'1u =）解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-.于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++⎰⎰⎰⎰。

熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算：sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++⎰⎰⎰例4：求微分方程21dyy dx-=的通解。

解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得12dy dx y =+，两端积分得：12dy dx y =+⎰⎰，得11ln 212y x C +=+ 从而122111ln 21222C x e y x C y e +=+=±-。

因为122C e ±仍然是常数，把它记做C ，故原方程的通解为212xy Ce =-其中C 为任意常数例5：求微分方程22dy y x dx x+=的通解 解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为()()(())p x dx p x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰在本题中22(),()P x Q x x x==，由通解公式知 22()()2(())()dx dx p x dxp x dxx x y e Q x e dx C e x e dx C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰ = 52ln 22ln 42211()()()5xxx ex edx C x dx C C x x -+=+=+⎰⎰即原方程的通解为：225C x y x =+例6：求定积分120x dx ⎰分析：设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()F x 是在[,]a b 上的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰，这就是牛顿-莱布尼茨公式。

解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为33x 是2x 的一个原函数，所以原式有333120110103333x x dx ==-=⎰例7：求定积分80⎰分析：在应用定积分换元时应注意两点：（1） 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用()x t ϕ=把原来的变量换成了新变量t ，积分限也必须也必须换成新变量t 的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。

（2） 求出换元后的原函数()t φ后，不必像计算不定积分那样将它还原成x 的函数，只需将新变量的上、下限带入相减即可。

解 t =，即3x t =，于是23dx t dt =，并且当x=0时，t=0；当x=8时，t=2，因此由换元公式有228220003(1)1311t t dt dt t t -+==++⎰⎰⎰ =222000113(1)3[(1)(1)]11t dt t dt d t t t -+=-++++⎰⎰⎰=2223[()ln(1)]3ln 3002t t t -++=例8：计算定积分1x xe dx -⎰分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的．因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样．解 令u x =，xdv e dx -=，则,x du dx v e -==-．故由分部积分公式得11110001()()()0x x x x xe dx x e e dx e e d x -----=---=---⎰⎰⎰11210x e e e --=--=- 例９ 求反常积分x xe dx +∞-⎰分析： 设()f x 在[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞上连续，定义反常积分 ()lim ()ba ab f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰()lim()bbaa f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰()()()f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰若上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散．解 因为000()()[()]0bbb b xx xx bx b xe dx xd e xee dx be e d x ------=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰1()10bx b b b bee e--+=-+=- ，所以 01limlim (1)bxx bb b b xe dx xe dx e +∞--→+∞→+∞+==-⎰⎰11lim 1b b b e →+∞+=-=这里．极限1limb b b e →+∞+是∞∞型未定式，由洛必达法则易知其极限为０例１０ 计算由抛物线2y x =与2y x =，0,1x x ==所围阴影图形的面积分析：设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，并且()()([,])f x g x x a b ≥∈，则由曲线()y f x =与()y g x =以及,x a x b ==所围成的图形面积Ａ为[()()]baA f x g x dx =-⎰解 联立两抛物线方程22y x x y ⎧=⎨=⎩，得交点(0,0),(1,1)O B ，并且由图形可知当[0,1]x ∈时均有2()()f x x x g x =>=，则所求图形面积为3123201211()[]0333A x x dx x x ==-=⎰第六章 多元函数微积分1．基本要求（1）了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义，知道求二元函数的定义域。

（2）了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶偏导数和全微分。

（3）了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法。

2．本章重点难点分析（1） 本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的计算方法。

（2） 本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。

3．本章典型例题分析例1. 求函数(x y) cos sin(x y)z 2+=的一阶偏导数. 解: 把y 看成常数, 对x 求导.)]2sin()[cos()]sin([)cos(2)cos(xy xy y y xy xy xy y xz-=⋅-⋅+=∂∂ 例2. 设,yxxy z +=求dz 解：根据全微分公式，先求两个偏导数yy x z 1+=∂∂；2yxx y z -=∂∂。

所以.)()1(2dy yxx dx y y dy y z dx x z dz -++=∂∂+∂∂=例3. 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解 区域D 如图所示，可以将它看成一个x -型区域， 即 ()}1,21|,{x y x y x D ≤≤≤≤=．所以⎰⎰⎰⎰=xDxydy dx xyd 121σ⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅===213211289212121dx x x dxy x xy y例4. 计算二重积分⎰⎰Dxyd σ，其中D 是有抛物线x y=2及2-=x y 所围成的有界闭区域．解：如图，区域D 可以看成是y －型区域，它表示为()}2,21|,{2+≤≤≤≤-=y x y y y x D ，所以84522121221222=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰-+-+dy xy xydx dy xyd y y y yDσ． 一、选择题 1、=-⎰)d(e x x （）．（A ）c x x+-e（B ）c x x x++--e e（C ）c x x+--e（D ）c x x x +---e e2、若)(x f 是)(x g 的原函数，则（ ）. （A ）⎰+=C x g dx x f )()( （B ）⎰+=C x f dx x g )()( （C ）⎰+='C x f dx x g )()( （D ）⎰+='C x g dx x f )()(3、若⎰+=c e x dx x f x 22)(，则=)(x f （ ）.（A ）xxe 22 （B ）xe x 222 （C ）xxe2 （D ）)1(22x xe x+4、⎰=xdx 2sin （ ）.（A ）c x +2cos 21 （B ）c x +2sin （C ）c x +-2cos （D ）c x +-2cos 215、=⎰-])(arctan [02xdt t dxd （ ）。

（A ）2arctant 211t+ （B ）2)(arctan x - （C ） 2)(arctan x （D ）2)(arctan t - 二、填空：1、已知)(x f 的一个原函数为x-e，则)(x f = ．2、若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f ． 3、若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )de (e --⎰= .4、⎰=-dx xx 2)1( .5、⎰=-dx ctgx x x )(csc csc .6、⎰+dx x x xsin cos 2cos ＝ .7、xdx e x sin cos ⎰＝ .8、已知)(x f 在),(∞+-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ，则(0)F '= .9、203sin limxx t dt x→=⎰.10、设20(2)4,()1f f x dx ==⎰，则20()xf x dx '=⎰.11、⎰=-21dx x.12、0cos 2=-'+'''x y y y x 的阶数是.13、0=+'''xy y y 的阶数是 . 四、求不定积分 （1）()⎰++1024sec 2dx x x x（2）⎰402tan πxdx（3）()⎰++dx xx x 222113 （4）()⎰-dx x 52sin （5）⎰-dx x x 22（6）⎰-2102411dx x（7）()dx xx e⎰13ln （8）()⎰-dx x x 221arcsin（9）⎰203cos sin πxdx x （10）dx x x x ⎰+--32222（11）⎰+80311dx x （12）⎰+2322)(a x dx(13) ⎰-224dx x （14）⎰20cos πxdx x(15)dx x x ⎰arctan 2（16）dx e x x ⎰102 ( 17) dx x e x ⎰sin （18）()⎰+-212132dx x x(19)⎰--1145xdx （20）()⎰edx x 12ln （21）求由曲线2x y =，直线x y x y 2,==所围成的图形的面积. （22）求由曲线2x y =与直线2+-=x y ，0=x 围成的平面图形面积.（23）33xy y x z -=, 求x ∂∂z ，y z∂∂. （24）x y z arctan =，求x ∂∂z ，y z∂∂.（25）)(ln 2xy x z =, 求dz .（26）xyx z e =,求dz .（27）Dydxdy ⎰⎰，其中Ｄ是由直线,1,01y x y x y y ==-==及及所围成的平面区域.（28）dxdy x y xD ⎰⎰-+)(22,其中D 由直线x y y ==,2与x y 2=所围成.（29）dxdy xy D⎰⎰2其中D 由抛物线2x y =和直线x y =所围成. （30）解微分方程：0sin cos =+x y x dxdy. （31）解微分方程：0)1()1(=++-dy x dx y .（32）某厂生产某种商品q 千件的边际成本为36)(+='q q C （万元/千件），其固定成本是9800（万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低？（2）最低平均成本是多少？（33）已知某产品的边际成本为q q C 4)(='（万元/百台），边际收入为q q R 1260)(-='（万元/百台）。