一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的
几分之几？
A
问问题题棱12、、长你如为解能果a法的有改？正几为四种求面
体A-BCD的体积。
B
你能有几种解法？
解三一二、将补利四形用面，体体将积分三公割棱式为 D 锥锥三VD补棱四-A面成锥B体一CE＝-个A13B正SE△方和BC体三D·。棱h
E C
小结：
体 积 相 等
∵V长方体＝abc
∴V柱Hale Waihona Puke ＝Sh V圆柱＝πr2 hα
问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
取任意两个锥体，它们 的底面积为S，高都是h
＋
S1h1
h S
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C
锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
A
AA A
C
C CC C
CC
C
三棱B锥1、B2的B 底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
C’
3
1
A
B’
2
C
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C 的面积相等。
C
B’ C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
C
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
练习1：
将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）
D’
C’
问问题题12、、你如能果有这几是种一
个解平法行？六面
A’
B’
体呢？或者
四棱柱呢？
C
D
A
B
练习2:
从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到
课题: 直线和平面垂直
课题: 直线和平面垂直
(一). 直线和平面垂直
1. 观察实例： 2. 直线与平面垂直的定义:
如果一个条直线和一个平面内的任何一条直 线都垂直,那么这条直线和这个平面互相垂直.
3. 相关概念: (1) 垂线 (2) 垂面 (3) 垂足
3. 唯一性:
(1) 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直. (不同于过一点作直线与另一条直线垂直 )
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
B θ
E
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
D
＝13
1
×2
BC
· ED
· AD
＝
1 3
×1
2
BC
· AEcosθ· AD
C
＝
1 3
S△AB C
· ADcosθ
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
1
V锥体＝ 3 Sh 推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
作业：
1、四面体O-ABC中，除OC外其余的棱长均为1，且OC与 平面ABC所成的角的余弦值为，求此四面体的体积。
2、三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝a，PA,BC的 公垂线段为EF(E、F分别在PA、BC上)，且EF＝h，求 三棱锥的体积。
＝
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。 把这两个锥体 放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平 面内，用平行于平面α的任一平面去截它们， 截面分别与底面相似，
设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2， 那么
∵ S1
h2 1
，S
2
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’ A’
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
A’ A’ A’
1Sh
3
A’
A’
高
3
C’
2
2B’
B’
2
B’ B’
22
B’
2
B’
2
B’
2
2
B’
B’
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’B’BC的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
m B
n
(2)要判断一条直线与一个平面是否垂直,取决于在这 个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直.
(三). 例题
1. 求证：过一点和已知平面垂直的直线只有一条.
2. 有一根旗杆AB高 8 m,它的顶端A挂有一条长 10 m 的绳子 , 拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点 (和旗杆脚不在同一直线上) C、D.如果这两点都 和旗杆脚B的距离是 6 m, 那么旗杆就和地面垂直, 为什么?
3
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是S，高是h，那么它的体积是 V锥体＝ 1 Sh
推论：如果圆锥的底面半3径是r，高是h， 那么它的体积是 V圆锥＝ 1 πr2h
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ
3
问题1、ADcosθ有什么几何意义？
A
结论：
V三棱锥＝
1 3
S△AB
C
·d
F
B
D
θ
E C
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
A’
A’
3
A’ B’
2
C’
3
B’
1
A
C
C
C
B
B
V1＝V2＝V3＝
1 3
V三棱锥
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
定理证明：
V三棱锥＝
1 3
Sh
已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h. 求证证明::把V三三棱棱锥＝锥113S以h△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱
3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。
小结： 4、定理及推论
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二、如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 1 V三棱锥＝ 3 Sh
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’
A’
C’
3
B’
2
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
的面积相等。
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’
A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
C’
3
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
B’
高
1 11 1
1 3
V三棱锥。
∴V三棱锥＝
1 3
Sh。
任意锥体的体积公式：
定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积
是S，高是h，那么它的体积是
V锥体＝
1 3
Sh
推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，
那么它的体积是
V圆锥＝
1 3
πr2h
小结： 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
C’ C’ C’ C’ C’ C’
B’ B’ B’ B’ B’ B’
A A A A AA